Netcevapseri

Üniversite Matematik Bölümü
1

99999999
99999999711×542 15.6 KB

2

f(x) = (x + 1) \arctan(\sqrt{x}) olmak üzere f’\left(\frac{1}{3}\right) kaçtır?

Cevap:
Bu soruyu çözmek için önce ( f(x) ) fonksiyonunun türevini bulmamız gerekiyor. Türev almayı kolaylaştırmak için ( u(x) = \arctan(\sqrt{x}) ) diyelim ve daha sonra bileşen türevlerinden faydalanalım.

  1. ( f(x) ) Fonksiyonunun Türevini Almak:
    ( f(x) = (x + 1)\arctan(\sqrt{x}) ) olduğuna göre, bu ifade bir çarpım fonksiyonudur.
    Dolayısıyla çarpım kuralını kullanmalıyız:

    f'(x) = \frac{d}{dx}[(x + 1)\arctan(\sqrt{x})]

    Çarpım kuralı olan

    (fg)' = f'g + fg'

    kuralını kullanarak türevini alalım:

    f'(x) = \frac{d}{dx}[x + 1] \cdot \arctan(\sqrt{x}) + (x + 1) \cdot \frac{d}{dx}[\arctan(\sqrt{x})]

  2. Bileşen Türevlerinin Hesaplanması:

    • İlk terim:
      \frac{d}{dx}[x + 1] = 1
    • İkinci terim:
      \frac{d}{dx}[\arctan(\sqrt{x})] = \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}[\sqrt{x}]
      \frac{d}{dx}[\sqrt{x}] = \frac{1}{2\sqrt{x}}
      Dolayısıyla tüm ifade:
      \frac{d}{dx}[\arctan(\sqrt{x})] = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}

  3. İfadenin Birleştirilmesi:

    f'(x) = 1 \cdot \arctan(\sqrt{x}) + (x + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}
    f'(x) = \arctan(\sqrt{x}) + \frac{(x + 1)}{2\sqrt{x}(1 + x)}
    f'(x) = \arctan(\sqrt{x}) + \frac{1}{2\sqrt{x}}

  4. Son Değerin Bulunması:
    Şimdi ( x = \frac{1}{3} ) için ifadeyi değerlendirelim.

    f'\left( \frac{1}{3} \right) = \arctan\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right) + \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{3}}}
    f'\left(\frac{1}{3}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{3\sqrt{3}}{2}
    \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}

    Dolayısıyla:

    f'\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}

Bu durumda doğru cevap IV seçeneğidir:

\boxed{\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}}