( f(x) = (x + 1) \arctan(\sqrt{x}) ) olmak üzere, ( f’\left(\frac{1}{3}\right) = ? )
Cevap:
Verilen fonksiyonu türev almak için öncelikle parçalı türevleme ve zincir kuralını kullanmalıyız. Fonksiyonumuz iki terimin çarpımından oluşuyor:
- ( g(x) = x + 1 )
- ( h(x) = \arctan(\sqrt{x}) )
Adım 1: Parçalı Türevleme Uygulaması
Fonksiyonun türevini alırken, çarpım kuralını kullanırız:
$$ f(x) = g(x)h(x) \Rightarrow f’(x) = g’(x)h(x) + g(x)h’(x) $$
Adım 2: ( g(x) ) ve ( h(x) ) Fonksiyonlarının Türevlerini Bulma
$$ g(x) = x + 1 \Rightarrow g’(x) = 1 $$
$$ h(x) = \arctan(\sqrt{x}) \Rightarrow h’(x) = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)} $$
Adım 3: Türevleri Fonksiyonda Yerine Koyma
$$ f’(x) = g’(x)h(x) + g(x)h’(x) $$
$$ f’(x) = 1 \cdot \arctan(\sqrt{x}) + (x + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)} $$
$$ f’(x) = \arctan(\sqrt{x}) + \frac{x + 1}{2\sqrt{x}(1 + x)} $$
Adım 4: ( x = \frac{1}{3} ) İçin Türevini Hesaplama
$$ f’\left(\frac{1}{3}\right) = \arctan\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right) + \frac{\frac{1}{3} + 1}{2\sqrt{\frac{1}{3}} \left(1 + \frac{1}{3}\right)} $$
$$ f’\left(\frac{1}{3}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{\frac{1}{3} + 1}{2\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \frac{4}{3}} $$
$$ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} $$
İkinci terimi hesaplamak için:
$$ \frac{\frac{1}{3} + 1}{2\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{2\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{4}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$$
Sonuç:
$$ f’\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} $$
Bu sonuca göre doğru cevap V seçeneğidir ( ( \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} ) ).