!Ekran görüntüsü 2024-08-07 210136|666x479 [Link Silindi]
f(x) = (x + 1) \arctan(\sqrt{x}) olmak üzere, f'\left(\frac{1}{3}\right) = ?
Cevap:
Verilen fonksiyonu türev almak için öncelikle parçalı türevleme ve zincir kuralını kullanmalıyız. Fonksiyonumuz iki terimin çarpımından oluşuyor:
- g(x) = x + 1
- h(x) = \arctan(\sqrt{x})
Adım 1: Parçalı Türevleme Uygulaması
Fonksiyonun türevini alırken, çarpım kuralını kullanırız:
f(x) = g(x)h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
Adım 2: g(x) ve h(x) Fonksiyonlarının Türevlerini Bulma
g(x) = x + 1 \Rightarrow g'(x) = 1
h(x) = \arctan(\sqrt{x}) \Rightarrow h'(x) = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}
Adım 3: Türevleri Fonksiyonda Yerine Koyma
f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
f'(x) = 1 \cdot \arctan(\sqrt{x}) + (x + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}
f'(x) = \arctan(\sqrt{x}) + \frac{x + 1}{2\sqrt{x}(1 + x)}
Adım 4: x = \frac{1}{3} İçin Türevini Hesaplama
f'\left(\frac{1}{3}\right) = \arctan\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right) + \frac{\frac{1}{3} + 1}{2\sqrt{\frac{1}{3}} \left(1 + \frac{1}{3}\right)}
f'\left(\frac{1}{3}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{\frac{1}{3} + 1}{2\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \frac{4}{3}}
\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}
İkinci terimi hesaplamak için:
\frac{\frac{1}{3} + 1}{2\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{2\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{4}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{2}
Sonuç:
f'\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}
Bu sonuca göre doğru cevap V seçeneğidir ( \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} ) .