a ∈ ℝ ve f(x) bir fonksiyon olmak üzere f(a) = 0, f’(a) = 2 olsun. y = sin(f(x)) ise dy/dx|_(x=a) = ?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için zincir kuralını kullanmamız gerekiyor. Zincir kuralı, bileşke fonksiyonların türevini hesaplarken kullanılır.
-
Zincir Kuralı:
-
Zincir kuralına göre, y = \sin(f(x)) fonksiyonunun türevi şu şekilde hesaplanır:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sin(f(x))] = \cos(f(x)) \cdot \frac{df(x)}{dx}
-
-
Verilen Bilgilerle Türev Almak:
-
Soruda verilen bilgilere göre, f(a) = 0 ve f'(a) = 2.
-
y fonksiyonu y = \sin(f(x)) olduğu için, zincir kuralını kullanarak x = a noktasındaki türevi şu şekilde bulunur:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \cos(f(a)) \cdot f'(a)
-
-
Değerlerin Yerleştirilmesi:
-
f(a) = 0 olduğu için, \cos(f(a)) = \cos(0) = 1.
-
f'(a) = 2 olduğu için bu değeri yerine koyarız:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = 1 \cdot 2 = 2
-
Sonuç:
Bu durumda, x = a noktasındaki türev değeri 2 olduğundan doğru cevap II) 2 olacaktır.