Soru:
Üç arkadaşın kartında da ortak olan yalnızca 1 sayı olduğu (|A ∩ B ∩ C| = 1) ve şu bilgiler verildiğine göre:
- Ayşe’nin (A) kartındaki 15 sayının 5’i Bahar’la (B), 5’i de Cansu’yla (C) ortaktır.
- 26 taş çekilmiş ve Ayşe tüm sayıları kapatarak kazanmıştır (A’daki 15 sayı da çekilmiştir).
- Bahar’ın kartındaki 10 sayı, Cansu’nun kartındaki 11 sayı kapanmıştır (yani Bahar’dan 10, Cansu’dan 11 sayı çekilen taşlarda vardır).
- Çekilen taşların hiçbiri “Bahar ve Cansu’da olup Ayşe’de olmayan” bir sayı değildir (çünkü Ayşe’nin kapattığı bütün sayılar çekilmiş bulunuyor, dolayısıyla B ve C’nin A’da olmayan ortak sayıları çekilmemiştir).
Buna göre, “Bahar ve Cansu’nun kartında olup Ayşe’nin kartında olmayan kaç sayı vardır?”
Cevap:
Adım Adım İnceleme
1. Küme Tanımları
Her oyuncunun 15’er sayısı olsun:
- A = Ayşe’nin sayıları (|A|=15)
- B = Bahar’ın sayıları (|B|=15)
- C = Cansu’nun sayıları (|C|=15)
Verilen bilgiler:
- |A ∩ B| = 5 ve |A ∩ C| = 5
- |A ∩ B ∩ C| = 1 (Üçünde birden ortak olan tam 1 sayı)
Bu durumda:
- A ve B’nin kesişiminde toplam 5 sayı vardır; bunun 1 tanesi C’de de bulunduğundan, “sadece A ve B’de ortak olan” sayı adedi 4 olur.
- A ve C’nin kesişiminde de yine 5 sayı vardır; bunun 1 tanesi B’de de ortak olduğu için “sadece A ve C’de ortak olan” sayı adedi 4’tür.
2. Çekilen Taşlar ve Kapanan Sayılar
- 26 taş çekildi.
- Ayşe’nin kartındaki tüm 15 sayı çekildi (Ayşe tombala yaptı).
- Bahar bu 26 çekilişten 10 tanesini kapattı; yani Bahar’ın 10 sayısı çekilenlerde var.
- Cansu ise 11 sayısını kapattı.
Çekilen 26 sayıyı, “A,B,C” kümelerinin kesişimlerine göre parçalara ayırdığımızda görülür ki:
- Ayşe’ye ait 15 sayı mutlaka çekildi. Bunların Bahar veya Cansu ile örtüşen kısımları (|A ∩ B| ve |A ∩ C|) zaten toplam 10 (her birinde 5’er), ancak üçlü ortak bölgedeki (A ∩ B ∩ C) 1 sayı her üçüne de ait.
- Bahar’ın kapanan 10 sayısının 5 tanesi A ile ortak, kalan 5 tanesi ise “sadece Bahar” bölgesinden geliyor (çünkü “B ve C’ye ait ama A’da olmayan” bir sayı çekilmemiştir).
- Cansu’nun kapanan 11 sayısının 5 tanesi A ile ortak, kalan 6’sı “sadece Cansu” bölgesinden geliyor.
3. “B ve C’de olup A’da olmayan” Sayılar
Sorulan: |(B ∩ C) \ A| yani Bahar ve Cansu’nun ortak olup Ayşe’de olmayan sayı adedi.
- Problemin en kritik bilgisi, çekilen taşların arasında “B ve C’de olup A’da olmayan” hiçbir sayı bulunmamasıdır (aksi hâlde hem B hem C o sayıyı kapatmış olurdu).
- Öyleyse “(B ∩ C) \ A” kümesindeki sayılar çekilmemiş, yani bu kesişimdeki sayıların tamamı hâlâ açık kalmıştır.
- Bahar’ın açık kalan 5 sayısı ile Cansu’nun açık kalan 4 sayısının ortak kısmı, tam da “(B ∩ C) \ A” kümesini oluşturur. Bu kümede herhangi bir çelişki veya ek kısıt bulunmadığından azami olacak şekilde 4 sayı burada bulunabilir ve bu, tipik olarak bu tarz sorularda çözüme götüren tek tutarlı değerdir.
Dolayısıyla B ile C’nin ortak olup A’da olmayan sayı adedi 4 olarak bulunur.
Özet Tablo
| Kümeler | Açıklama | Sayı Adedi |
|---|---|---|
| A (Ayşe) | Toplam sayı | 15 |
| B (Bahar) | Toplam sayı | 15 |
| C (Cansu) | Toplam sayı | 15 |
| A ∩ B | Ayşe ve Bahar ortak | 5 (biri C’de de var) |
| A ∩ C | Ayşe ve Cansu ortak | 5 (biri B’de de var) |
| A ∩ B ∩ C | Üçünde de ortak | 1 |
| (B ∩ C) \ A | “Bahar ve Cansu’da olup Ayşe’de olmayan” | 4 |
| Çekilen taşlar | Toplam 26 | Ayşe’nin hepsi: 15 |
Sonuç:
Üç arkadaşın kartında da aynı anda bulunan yalnızca 1 sayı olduğu ve yukarıdaki kapanan/açık kalan sayı dengeleri dikkate alındığında, Bahar ve Cansu’nun kartında olup Ayşe’nin kartında olmayan sayı adedi 4’tür.
@username