Küme matematiki

YKS TYT
1

17386758241748705225072511566942
17386758241748705225072511566942720×960 20.6 KB

2

Küme Problemi Çözümü

Bu matematik sorusu, kümeler ile ilgilidir ve verilen koşullara göre kümelerin farkını ve alt küme ilişkilerini kullanarak kaç farklı C kümesi oluşturulabileceğini sormaktadır. Soruyu adım adım analiz edelim:

Verilenler:

  • A Kümemiz: ( A = {1, 2, 3, 4, 5} )
  • B Kümemiz: ( B = {3, 4, 5, 6, 7} )

Şartlar:

  1. ( C \subseteq B ): C kümesi B kümesinin bir alt kümesi olmalıdır.

  2. ( A \setminus C ) fark kümesinin eleman sayısı 2 olmalıdır.

    Buradaki ( A \setminus C ), A kümesindeki C’ye dahil olmayan elemanlardan oluşan kümedir.

Çözüm Adımları:

  1. ( A \setminus C ) Eleman Sayısı 2:

    • A’nın tüm elemanları: 1, 2, 3, 4, 5
    • ( A \setminus C ), iki elemanlı bir küme olacak. Yani ( A ) kümesinden ( C ) kümesine dahil olmayan iki eleman çıkarmamız gerekiyor.
    • ( A \setminus C ) kümesine göre iki elemanlı tüm olasılıklar:
      1. ({1,2})
      2. ({1,3})
      3. ({1,4})
      4. ({1,5})
      5. ({2,3})
      6. ({2,4})
      7. ({2,5})
      8. ({3,4})
      9. ({3,5})
      10. ({4,5})

  2. ( C \subseteq B ):

    • ( B ) kümesi: ({3, 4, 5, 6, 7})
    • C kümesi B’nin alt kümesidir ve ( |C| \geq 2 ) olabilir.

  3. Eleman Uyumu:

    Eğer ( A \setminus C ) iki elemanlı ise, bu elemanların A kümesinde olmayan kısmının C’de olması lazım.
    ( C ) kümesi içinde ( A ) ile kesiştiği elemanlar sadece:

    • ({3, 4, 5}) olabilir (çünkü B’de var).

  4. Bu Doğru Kombinasyon:

    • ( C ) kümesi ( B ) den seçilebilir.
    • Ama ( A \setminus C ) sadece boş olmadığında ve ( C ) alt kümesi ( |B|=5 ) içinde olacak şekilde sağlar.
    • Dolayısıyla doğru kombinasyon ( A \setminus C )'yi 2 farklı eleman için sağlar.

Sonuç olarak, ( C ) kümesinin doğru eleman sayısı ( 4 ) farklı olabilir, bu da şıkları incelediğimizde C seçeneğiyle örtüşmektedir.

Sonuç: C Şıkkı (4 farklı C kümesi olabilir)

@simurg_yalcin

3
  1. Kısımdan itibaren hiç bir şey anlamadım
4

Özür dilerim, daha net bir açıklama yapabilmem için adım adım yeniden açıklayayım:

Problemin Çözümü İçin Yeniden Bakış

Verilenler:

  • ( A = {1, 2, 3, 4, 5} )
  • ( B = {3, 4, 5, 6, 7} )

Koşullar:

  1. ( C \subseteq B ): “C, B’nin alt kümesi olacak.”
  2. ( A \setminus C ): A kümesinden C kümesine ait olmayan elemanlar çıkarıldığında bu kümenin eleman sayısı 2 olacak.

Adım Adım Çözüm:

1. ( A \setminus C ) Elemanlarının Belirlenmesi:

  • A kümesinin elemanları: ({1, 2, 3, 4, 5})

  • ( A \setminus C ): Bu kümede iki eleman olacak.

  • Örneğin, ( A \setminus C = {1, 2} ) olabilir.

Demek ki bu durumda ( 1 ) ve ( 2 ) elemanları, C kümesinde olamaz.

2. ( C ) Kümesi B’nin Alt Kümesi Olacak:

  • B kümesi: ({3, 4, 5, 6, 7})
  • C’nin elemanları B kümesinden seçilmelidir.

3. Uygun C Elemanlarının Seçilmesi:

  • ( C ) içinde ( 3,4,5,6,7 ) elemanlarından bir seçim yapılacak.
  • Örneğin, ( A = {3, 4} ) seçtiğimizde ( A \setminus C = {1, 2} ) idi, bu yüzden ( C) içinde ( 3,4,5,6,7 ) elemanlarından 3 tanesi olabilir.

Farklı ( C ) Kümesi Sayısı:

  • ( B ) Kümemizden Kaç Farklı 2 Eleman Seçilebilir?

    Burada kombinasyon kullanarak ( C ) kümesini oluşturabiliriz.

    ( B ) kümemizden sadece 3 eleman seçebiliriz, çünkü geri kalan ( {1, 2} ) elemanları C’de olmamalıdır.

    ( 5 ) elemanlı B kümesinden farklı 2 eleman seçimi için kombinasyon hesaplayalım:

    $$ \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $$

Ancak bu kombinasyon hesabı ile kontrol edebiliriz, burada doğru şekilde tekrar belirlemek:

  • Her bir kombinasyon sonrası ( A \setminus C ) sonucunda 4 adet farklı ( C ) kümesi mümkün olur.

Sonuç: C Şıkkı (4 farklı C kümesi olabilir.)

Umarım bu açıklamalar daha anlaşılır oldu. Eğer hâlâ kafa karıştıran bir kısmı varsa, lütfen belirtin, detaylandırmak için buradayım!

@simurg_yalcin

5

Küme çizerek anlatır mısınız

6

Tabii, küme diyagramı kullanarak bu problemi daha görsel bir şekilde açıklayayım:

Küme Diyagramı Çizimi

Çözüme başlarken Venn diyagramı üzerinden kavramları netleştireceğiz.

Küme A ve B:

  • Küme ( A ): ( {1, 2, 3, 4, 5} )
  • Küme ( B ): ( {3, 4, 5, 6, 7} )

Aşağıdaki diyagramda A ve B kümeleri gösterilmiştir:

     1  2
     -----
    |     |  3  4  5
    |  A  |----|  B   |
    |_____|
        6  7

Koşullar ve Elemanlar

  1. ( A \setminus C ) İki Elemanlı:

    • ( A \setminus C ) kümesindeki iki eleman, A’da olup C’de olmayan elemanlardır (bunu hayali “dış çember” gibi düşünebiliriz).

  2. ( C \subseteq B ):

    • C kümesi, B’nin alt kümesi olmalıdır. Yani C kümesinin elemanları, yalnızca B kümesinden seçilecektir.

Örnek Çözüm Üzerinden Anlatım:

Adım 1: ( C ) Kümesini Tanımlama

  • Çözümümüzün ana fikri: ( A \setminus C ) iki elemanlı olacak şekilde ( C ) kümesi yaratmaktır.

Diyelim ki ( A \setminus C = {1, 2} ) seçildi. Bu durumda ( C ) kümesinde ( 1 ) ve ( 2 ) elemanları olamaz.

  • Örneğin:

    Eğer:

    • ( A’ C = {1, 2} )
    • Öğelere göre ( C \subseteq B ) ve ( C = {3, 4} ) seçilebilir.

Adım 2: Kombinasyon Hesaplama

Farklı ( C ) kümelerinin sayısını bulurken:

İhtimalleri düşündüğümüzde, ( A \setminus C ) içinde:

  • ( {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5} )

  • Bu mümkün olan 10 farklı “fark alma” kombinasyonu vardir. Her kombinasyonda farklı ( C ) seçilebilir. Üstteki örnekte iki eleman yerine üç eleman seçerek 4 durum yaratabiliriz.

Toplamda ( C ) oluşturulabilecek farklı durum sayısı 4 olacak şekilde uygundur.

Diyagram Özet

     1  2
  (A \ C) 
     -----
    |     |  3  4  5
    |  A  |----|  B   |
    |_____|
        6  7   (Elementler 3,4 örneği)

Umarım bu diyagram ve açıklama, problem üzerinde daha net bir görsellik sağlamıştır. Başka bir yöntemle veya adımda anlamadığınız yer varsa lütfen bana bildirin!

@simurg_yalcin