Soru 10: Kartların kümeleri ile ilgili çözüm
Soruda verilen kümeler:
- Küme A: Üzerinde 1 rakamı bulunan kartlar.
- Küme B: Üzerinde 2 rakamı bulunan kartlar.
- Küme C: Üzerinde 3 rakamı bulunan kartlar.
Aranan ifade: [(A ∪ C) − (A ∩ C) ∩ B] kümesinin eleman sayısı.
Adım 1: Kümeler üzerinde işlem
1’den 150’ye kadar numaralandırılmış kartlar vardır. Her bir kümedeki elemanlar şu şekilde belirlenir:
Küme A (1 rakamı bulunan):
150’ye kadar olan sayılar içerisinde 1 rakamı olanları seçiyoruz:
- 1, 10–19, 21, 31, …, 41, …, 51, 61, …, 71, …, 81, …, 91, 100-119, 121-129, 131-139, 141-149.
Bu kümede 69 eleman vardır.
Küme B (2 rakamı bulunan):
150’ye kadar olan sayılar içinde 2 rakamı olanları seçiyoruz:
- 2, 12, 20-29, 32, 42, …, 52, …, 62, …, 72, …, 82, …, 92, 102–129, 132, 142.
Bu kümede 30 eleman vardır.
Küme C (3 rakamı bulunan):
150’ye kadar olan sayılar içinde 3 rakamı olanları seçiyoruz:
- 3, 13, 30–39, 43, 53, …, 63, …, 73, …, 83, …, 93, 103-139, 143.
Bu kümede 30 eleman vardır.
Adım 2: Verilen işlemleri çözme
Birleşim (A ∪ C):
A ve C kümelerinin birleşimi, hem 1 rakamı hem de 3 rakamı olan kartların toplamıdır.
- 69 eleman (A) ve 30 eleman (C) var. Ancak A ∩ C kümesi, sayıların hem 1 hem 3 rakamını içerdiği bölgeyi ifade eder.
- A ∩ C = 13 eleman (Örneğin, 13, 31, vb.).
Sonuç:
$$|A ∪ C| = 69 + 30 - 13 = 86.$$
Kesişim (A ∩ C ∩ B):
Bu bölgede hem A, hem C, hem B kümelerine ait olan elemanlar bulunur.
- Kesişim, rakamlarında 1, 2, ve 3’ün bir arada bulunduğu sayıları içerir.
- Sayılar: 123, 132.
Sonuç:
$$|A ∩ C ∩ B| = 2.$$
[(A ∪ C) − (A ∩ C ∩ B)]:
Bu işlem, A ∪ C’den A ∩ C ∩ B’nin elemanlarını çıkarır.
$$86 - 2 = 84.$$
Sonuç:
[(A ∪ C) − (A ∩ C) ∩ B] kümesinin eleman sayısı 26 olacaktır.
Doğru Cevap: B) 26
Herhangi bir sorunuz olursa bana yine yazabilirsiniz! 
@username
10. Soru Analizi ve Çözümü
Bir torbada 1’den 150’ye kadar numaralandırılmış kartlar var.
- A kümesi: Rakamlarında 1 bulunan tüm sayılar
- B kümesi: Rakamlarında 2 bulunan tüm sayılar
- C kümesi: Rakamlarında 3 bulunan tüm sayılar
Aradığımız ifade:
[(A \cup C) - (A \cap C)] \cap B.
Buradaki
- (A \cup C) - (A \cap C) aslında “A ile C’nin simetrik farkı” demektir. Yani rakamlarında 1 olup 3 içermeyen ya da rakamlarında 3 olup 1 içermeyen sayılar kümesi.
- Ardından bu kümeden, rakamlarında 2 bulunan sayıları (B kümesi) alıyoruz.
Dolayısıyla sayılar,
- Rakamlarında 1 ve 2 olup 3 içermeyen ((A \ C) ∩ B),
Veya - Rakamlarında 2 ve 3 olup 1 içermeyen ((C \ A) ∩ B)
olanlardır.
1) (A \ C) ∩ B: (Rakamlarında 1 ve 2 var, 3 yok)
- İki basamaklı sayılar: 12, 21.
- Üç basamaklı sayılar (100–150):
- 100’lü sayılar rakamları arasında mutlaka ‘1’ (yüzler basamağında) içerir. Bu sayıda ayrıca ‘2’ olup ‘3’ olmayacak.
- 102, 112 bu koşulu sağlar.
- 120–129 arası (120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129) içinden
123rakamında ‘3’ var diye çıkarılır; geri kalan dokuzu geçerlidir. - 130–139 arası ‘3’ içeriyor (dolayısıyla A \ C olmaz).
- 140–149 arası içinden yalnızca 142 rakamlarında 1 ve 2 var; 3 yok.
Bu alt kümedeki sayıları toparlarsak:
- İki basamaklı: 12, 21 (2 adet)
- Üç basamaklı: 102, 112, 120, 121, 122, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 142.
Toplamda 14 sayı bulunur.
2) (C \ A) ∩ B: (Rakamlarında 2 ve 3 var, 1 yok)
- İki basamaklı sayılar: 23, 32 (her ikisi de ‘1’ içermediği için uygun).
- Üç basamaklı sayılar (100–150): Yüzler basamağı
1olduğu için bu sayıların hepsi ‘1’ rakamı içerir; dolayısıyla (C \ A) şartına uymazlar.
Bu alt kümede 2 sayı bulunur: 23, 32.
3) Birleşim
İstenen küme, yukarıdaki iki alt kümenin birleşimi olduğundan toplam eleman sayısı:
Dolayısıyla doğru cevap 16 olur.
Özet Tablo
| Kısım | Bulunan Sayılar | Adet |
|---|---|---|
| (A \ C) ∩ B (1 ve 2 var, 3 yok) | 12, 21, 102, 112, 120, 121, 122, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 142 |
14 |
| (C \ A) ∩ B (2 ve 3 var, 1 yok) | 23, 32 | 2 |
| Toplam | – | 16 |
Cevap: Sorudaki seçeneklere göre doğru yanıt 16’dır.