Görselde verilen soruyu inceleyelim ve çözmeye çalışalım.
Yükselik: ( h = 2r ) olan tüm bir silindirin üst kısmından ( r ) yarıçaplı yarım küre biçiminde bir parça kesiliyor. Bizden, kalan parçanın basıncı (( P_1 )) ile çıkarılan parçanın basıncı (( P_2 )) oranı istenmektedir.
Silindirin hacmi her şeyden önce hesaplanmalıdır:
Silindirin Hacmi:
Silindirin hacmi (( V_s )) şu şekilde hesaplanır:
[
V_s = \pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3
]
Yarım Kürenin Hacmi:
Yarım kürenin hacmi (( V_k )) ise:
[
V_k = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3
]
Kalan Hacim:
Kalan parçanın hacmi (( V_{kalan} )):
[
V_{kalan} = V_s - V_k = 2\pi r^3 - \frac{2}{3} \pi r^3 = \left(2 - \frac{2}{3}\right)\pi r^3
]
[
V_{kalan} = \frac{6}{3}\pi r^3 - \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3
]
Basınç Hesapları:
Basınçlar (( P_1 ) ve ( P_2 )) hacimlere göre orantılı olacaktır çünkü yoğunluk sabit ve yer çekimi ivmesi değişmiyor.
[
P_1 = V_{kalan} = \frac{4}{3}\pi r^3
]
[
P_2 = V_k = \frac{2}{3} \pi r^3
]
Basınç Oranı:
Oran:
[
\frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{2}{3}\pi r^3} = \frac{4}{3} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} = 2
]
Sonuç olarak, (\frac{P_1}{P_2} = 2) oranı bulunur.