Özür dilerim, görüntüyü inceleyemiyorum. Ancak verilen detaylar üzerinden yardımcı olabilirim. Lütfen soruları metin olarak paylaşabilir veya ihtiyaç duyduğunuz konuda bilgileri daha ayrıntılı yazabilirsiniz.
A=\ x| x = 3k - 1 ,k in Z\ kümesi veriliyor a) A kümesinde arada olma özelliğinin olup olmadığını gösteriniz. b) A kümesinin toplama ve çarpma Işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz. c) Her a,b, c \in A ve a < b olmak üzere ac < bc eşitsizliğinin dalma doğru olup olmadığını gösteriniz. ç) x \in A olmak üzere x ^ 2 > x eşitsizliğinin dalma doğru olup olmadığını gösteriniz. 2. x \in N olmak üzere x ^ 2 >= x eşitsizliğinin dalma doğru olup olmadığını gösteriniz. 3. Q - {0} sinin bölme İşlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz. 4. A=\ x| x = 10k ,k in R\ kümesinin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme İşlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Çalışma Soruları ve Çözümleri
1. A Kümesi ile İlgili Sorular
a) Arada Olma Özelliği:
Arada olma özelliği, iki eleman arasında başka bir elemanın bulunabilmesi anlamına gelir. Bu özellik, kümeler arasında sıralı olmayı gerektirir. Eğer her (a, b \in A) için (a < b) ise ve arada bir (c \in A) bulunabiliyorsa, bu özellik vardır.
b) Toplama ve Çarpma İşlemlerine Göre Kapalılık:
-
Toplama:
Küme (A = {x | x = 3k - 1, k \in \mathbb{Z}}) şeklindedir. İki eleman alalım: (a = 3k_1 - 1) ve (b = 3k_2 - 1). Toplama işleminde:
[
a + b = (3k_1 - 1) + (3k_2 - 1) = 3k_1 + 3k_2 - 2 = 3(k_1 + k_2) - 2
]
(3(k_1 + k_2) - 2) ifadesi yapı olarak (3k - 1) şeklinde olmadığından toplama işlemine göre kapalı değildir. -
Çarpma:
Çarpalım:
[
a \cdot b = (3k_1 - 1)(3k_2 - 1) = 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1
]
Bu ifade de ((3k - 1)) formunu sağlamadığından, çarpma işlemine göre de kapalı değildir.
c) Eşitsizlik: (ac < bc):
Bunu test etmek için a, b, c nin A kümesinin elemanları olduğunu ve (a < b) olduğunu varsayalım. Eşitsizlik sağlıyor olarak kabul edebiliriz. Ancak a ve b nin farklarına bakarak kesin sonuç çıkarabiliriz. Bu daha çok belirlenen (\mathbb{R})'deki işlemler yaparken etkili olurdu. Dolayısıyla buradaki eşitsizliği sağlayamayabileceği durumları düşünmeliyiz.
ç) Eşitsizlik: (x^2 > x):
Kümenin tanımından (x = 3k - 1), ((3k - 1)^2 > (3k - 1)) olur mu sorusu soruluyor. Bu eşitsizliğin sağlanamayacağı örnekler bulmak gerekiyor.
2. Doğal Sayılar Kümesindeki Eşitsizlik
Eşitsizlik: (x^2 \geq x):
Doğal sayılar için bu eşitsizlik her zaman doğrudur çünkü her doğal sayının karesi, kendisinden büyük veya eşittir.
3. (Q - {0}) Kümesinin Bölme İşlemine Göre Kapalılığı
Rasyonel sayılardan sıfır çıkarıldığında, bölme işlemi tanımlıdır ve kapalıdır çünkü herhangi iki rasyonel sayı bölümünün de rasyonel olduğu bilinmektedir.
4. A Kümesinin Kapalılığı:
Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölmeye Göre Kapalı Olup Olmadığı:
(A = {x | x = 10k, k \in \mathbb{R}}) kümesini inceleyelim. Bu durumda tüm elemanlar 10’un tam katları olacaktır.
- Toplama ve Çıkarma: Her iki işlem de lineer kombinasyonlara izin verdiği için kapalıdır.
- Çarpma: Bu işlem ((10k)(10m) = 100km ), bu da (10n) formunu veren bir başka sayıdır, dolayısıyla kapalıdır.
- Bölme: Bölüm her zaman (\neq 0) olmadıkça kapalıdır. (\frac{10k}{10m} = \frac{k}{m}) olur, ki bu durum tüm reel sayılar için kapalı olmaz, zira kesir reel sayı olmak zorunda değil.
Özet: Bu sorularda önemli olan kümenin her elemanının, üzerinde işlem yapılan sonuçlar için özel tanımına uyup uymadığıdır.