Görüntüde bir çalışma kağıdı üzerinde bazı matematiksel ifadeler ve işlemler verilmiş. Soruların cevaplarını sırayla inceleyelim:
-
a) A kümesinde arada olma özelliğinin olup olmadığını gösteriniz.
A kümesi \{ x \,|\, x = 3k - 1, k \in \mathbb{Z} \} şeklinde tanımlanmış. Herhangi iki eleman seçelim: a = 3k_1 - 1 ve b = 3k_2 - 1. Bu durumda iki sayı arasında bir sayı seçmek isterseniz ne olacağına bakalım. Arada olma özelliği, a < c < b veya b < c < a olacak şekilde bir c elemana A kümesinden bulabilmektir. Bu kümeyi kontrol edelim, aradaki sayının da 3k-1 formunda olması gerek, ancak bu her zaman mümkün değildir çünkü aradaki sayının da aynı formda olması garanti değil. Bu nedenle, A kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
-
b) A kümesinin toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Toplama: a = 3k_1 - 1, b = 3k_2 - 1
a + b = (3k_1 - 1) + (3k_2 - 1) = 3(k_1 + k_2) - 2. Sonuç, 3k - 1 formunda olmadığı için toplama işlemine göre kapalı değildir.
Çarpma: a \cdot b = (3k_1 - 1) \cdot (3k_2 - 1) = 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1. Bu ifade de 3k - 1 formunda olmadığı için çarpma işlemine göre de kapalı değildir.
-
c) Her a,b,c \in A ve a < b < c olmak üzere a \cdot c < b \cdot c eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
Seçtiğimiz a, b, c elemanları için aradaki ilişkiyi tartışalım. Bu eşitsizlik kümenin tanımı gereği her zaman sağlanmayacaktır çünkü a \cdot c ve b \cdot c ifadelerinin karşılaştırılması için toplamsal konumları belirlemek önemlidir. Ancak aritmetik esaslar üzerinden a < b olduğunda, aynı zamanda a \cdot x < b \cdot x olur diyemeyiz, özellikle negatif sayılar veya sıfır durumlarında geçerli olmayabilir.
-
ç) x \in A olmak üzere x^2 > x eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
İlk eleman x = 3k - 1 seçelim. Eğer k \leq 0 ise, x^2 = (3k-1)^2 = 9k^2 - 6k + 1 ve bu da her zaman 3k-1'den büyük olmayabilir. Dolayısıyla her x için sağlanmaz.
-
2) x \in \mathbb{N} olmak üzere x^2 \geq x eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
Pozitif tamsayılar için x^2 \geq x her zaman doğrudur çünkü x(x - 1) \geq 0 her durumda doğal sayılarda sağlanır.
-
3) \mathbb{Q}-\{0\} kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Rasyonel sayılar kümesi \mathbb{Q}, sıfır hariç bölme işlemine göre tamamen kapalıdır çünkü iki rasyonel sayı bölündüğünde yine rasyonel bir sayı elde edilir.
-
4) A kümesinin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Verilen A = \{ x \,|\, x = 10k, k \in \mathbb{R} \} kümesi için:
- Toplama: Her iki 10k_1 ve 10k_2 elemanları için, 10k_1 + 10k_2 = 10(k_1 + k_2), ki bu da kümeye dahildir.
- Çıkarma: 10k_1 - 10k_2 = 10(k_1 - k_2) da kümeye aittir.
- Çarpma: 10k_1 \times 10k_2 = 100k_1k_2, ki bu da kümeye uygun bir form değildir.
- Bölme: Eğer k_2 \ne 0 ise, 10k_1 / 10k_2 = k_1 / k_2 her zaman kümeye ait olmayabilir.
Bu durumlardan dolayı, toplama ve çıkarma işlemlerine göre kapalı; çarpma ve bölme işlemlerine göre her zaman kapalı değildir.