Görselde bir matematik çalışma kağıdı yer alıyor. Çalışma kağıdının bazı soruları ve belirtmek istenilen konular şöyle:
1. Arada Olma Özelliği
A kümesinde arada olma özelliğinin olup olmadığını gösteriniz.
Soru, A kümesindeki sayılar arasında “arada olma” özelliğini incelemenizi istiyor. A kümesi, x = 3k - 1 şeklinde elemanlardan oluşuyor ve k bir tam sayı. Bu elemanlar sıralı biçimde incelenip ortadaki elemanın olup olmadığı tespit edilmelidir.
2. Toplama ve Çarpma İşlemlerine Göre Kapalılık
A kümesinin toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Bu konuda, A kümesindeki iki elemanın toplamı veya çarpımının yine A kümesine ait olup olmadığını kontrol etmelisiniz. Kapalılık, işlemin sonucu yine kümenin bir elemanı olduğunda sağlanır.
3. Eşitsizlikler
a) Üç Sayı için
Her a, b, c \in A ve a < b olmak üzere a \cdot c < b \cdot c eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
Bu eşitsizliğin doğruluğunu, belirli a, b, c elemanları seçip bu elemanlar üzerinden gösterimler yaparak inceleyebilirsiniz.
b) Kişi İçi ve Doğal Sayılar Üzerine
- x \in A olmak üzere x^2 > x eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
Bu eşitsizlik, A kümesinin elemanları için her zaman doğru mu diye kontrol edilmelidir.
- x \in \mathbb{N} olmak üzere x^2 = x eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
Doğal sayılar kümesi için verilen bir eşitsizlik. Bu eşitsizlik de yalnızca belirli koşullarda sağlanır.
4. Bölme İşlemi ve Kapalılık
\mathbb{Q} - \{0\} kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Kümedeki elemanların birbirine bölünmesi sonucunda elde edilen sonuçların yine aynı kümeye dahil olup olmadığını inceleyiniz.
5. Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme İşlemleri
B = \{x \mid x = 10k, k \in \mathbb{Z} \} kümesinin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Bu küme için her işlem sonucunun yine kümeye dahil olup olmadığını analiz ederek uygun sonuca ulaşabilirsiniz.
Bu sorular üzerine çalışarak hem aritmetik özellikleri hem de küme teorisi kavramlarını pekiştirebilirsiniz. Eğer belirli bir sorunun çözümünde yardıma ihtiyacınız varsa, söylemekten çekinmeyiniz.