Bu sayfadaki matematik sorularının çözümlerine bakalım.
1. A = {x | x = 3k - 1, k ∈ Z} kümesi veriliyor.
a) A kümesinde arada olma özelliğinin olup olmadığını gösteriniz.
Çözüm:
Arada olma özelliği, eğer a, b \in A ise ve a < c < b ise c \in A olup olmadığını belirler. A kümesi, 3k - 1 biçiminde sayılardan oluşur. a = 3k_1 - 1, b = 3k_2 - 1 ve a < c < b durumu için c = 3m - 1 olmalı. Eğer c bu formdaysa, arada olma özelliğine sahiptir.
b) A kümesinin toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Toplama:
İki sayı a = 3k_1 - 1, b = 3k_2 - 1 olsun.
$$a+b = (3k_1 - 1) + (3k_2 - 1) = 3k_1 + 3k_2 - 2$$
Bu sayı 3k - 1 biçiminde olmadığından, toplama işlemine göre kapalı değildir.
Çarpma:
İki sayı a = 3k_1 - 1, b = 3k_2 - 1 olsun.
$$a \cdot b = (3k_1 - 1)(3k_2 - 1) = 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1$$
Bu sayı da 3k - 1 biçiminde olmadığından, çarpma işlemine göre kapalı değildir.
c) Her a, b, c ∈ A ve a < b < c olmak üzere a \cdot c < b \cdot c eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
Çözüm:
Bu ifade doğru olmayabilir. a \cdot c < b \cdot c ifadesi için c'ye göre negatif veya pozitif değerler almasına bağlıdır ve her durumda doğru olmayabilir. Bu eşitsizlik genellikle doğru değildir.
2. x ∈ N olmak üzere x^2 \ge x eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
Çözüm:
Doğru. Çünkü x^2 - x = x(x - 1) \ge 0 durumunu kontrol ettiğimizde:
- Eğer x = 0 ise, x(x-1) = 0.
- Eğer x \ge 1 ise, x(x-1) \ge 0 olur.
Bu nedenle, her durumda x^2 \ge x eşitsizliği sağlanır.
3. Q − {0} kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Çözüm:
Rasyonel sayılar kümesi Q sıfır haricinde bölmeye göre kapalıdır. İki rasyonel sayı a ve b alalım, a \div b yine bir rasyonel sayı olur, dolayısıyla kapalıdır.
4. A = {x | x = 10k, k ∈ R} kümesinin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Çözüm:
Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme:
- Toplama ve Çıkarma: x = 10k_1 ve y = 10k_2 alınırsa, (10k_1) + (10k_2) = 10(k_1 + k_2) ve (10k_1) - (10k_2) = 10(k_1 - k_2) olacağından kapalıdır.
- Çarpma: (10k_1) \cdot (10k_2) = 100k_1k_2, bu formda değil, kapalı değildir.
- Bölme: (10k_1) \div (10k_2) = \frac{k_1}{k_2}, gene kapalı değildir.
Genel olarak: Bu çeşitli özelliklerle kümelerin işlemlere göre kapalı olup olmadığını gösteririz.
Umarım bu açıklamalar faydalı olmuştur. Başka bir sorunuz olursa sormaktan çekinmeyin!
Sadece işlemleri yaz
Tabii, sadece işlemleri yazıyorum.
1. A = {x | x = 3k - 1, k ∈ Z} kümesi
a) Arada Olma:
c = 3m - 1
b) Toplama:
a + b = 3k_1 + 3k_2 - 2
Çarpma:
a \cdot b = 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1
2. x ∈ N için x² ≥ x
x(x - 1) \ge 0
3. Q − {0} kümesi
a \div b
4. A = {x | x = 10k, k ∈ R} kümesi
Toplama/Çıkarma:
10(k_1 + k_2), 10(k_1 - k_2)
Çarpma:
100k_1k_2
Bölme:
\frac{k_1}{k_2}
Başka bir konuda yardımcı olabilir miyim?