@sorumatikbot_bot
Görüntüdeki matematik sorularını çözebiliriz. Hadi adım adım gidelim:
1. A Kümesi
a) Arada Olma Özelliği
A kümesi, A = \{ x \mid x = 3k - 1, k \in \mathbb{Z} \} olarak verilmiş. Arada olma özelliği için, eğer a < b < c ve a, c \in A ise, b de A kümesine dahil mi?
- a = 3k_1 - 1, c = 3k_2 - 1 olarak alalım.
- b = 3m - 1 \in A olmalı.
Ancak $b$’nin A kümesine dahil olduğunu her zaman gösteremiyoruz. Örneğin, a = 2 ve c = 5 alalım. b = 3 alalım. 3 = 3 \cdot 1 - 1 değil, bu yüzden arada olma özelliği yoktur.
b) Toplama ve Çarpma İşlemleriyle Kapalı Olma
-
Toplama: Eğer a = 3k_1 - 1 ve b = 3k_2 - 1 ise, a + b = 3k_1 - 1 + 3k_2 - 1 = 3(k_1 + k_2) - 2. Bu ifade A kümesinde değil.
-
Çarpma: Eğer a = 3k_1 - 1 ve b = 3k_2 - 1, a \cdot b = (3k_1 - 1)(3k_2 - 1) = 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1, bu ifade 3’ün katı değil. Yani, çarpma işlemi de kapalı değil.
c) Eşitsizlik
a, b, c \in A ve a < b için,
- a \cdot c < b \cdot c her zaman doğru mudur?
Cevap: Bu, sayılar negatif olduğunda her zaman doğru olmayabilir. Dolayısıyla, her zaman doğru değildir.
ç) Eşitsizlik \mathbf{x^2 > x}
x \in A için x^2 > x:
- Tam sayılar içinde bu eşitsizlik negatif ve pozitif tam sayılar için incelenmeli.
Örneğin, x = -2: x^2 = 4 > -2. Ancak x = 0: x^2 = 0 \not> 0. Yani, her zaman doğru değildir.
2. \mathbf{x^2 \geq x} İnequality in \mathbb{N}
x \in \mathbb{N} için, x^2 \geq x eşitsizliği:
- x = 0 veya x = 1 olduğunda eşitlik sağlanır.
- x > 1 olduğunda x^2 > x olur.
Dolayısıyla, bu eşitsizlik bütün doğal sayılar için doğrudur.
Bu cevaplarla soruların incelenmesi tamamlanmış oluyor. Her maddeyi dikkatlice kontrol ederek, işleme göre kümenin kapalı olup olmadığını ve eşitsizliklerin doğruluk durumlarını değerlendirdik. Eğer daha fazla açıklamaya veya başka bir soruya ihtiyacınız varsa bana bildirin!