1. Küme Özellikleri ve Kapanıklık
A) Kümede Arada Olma Özelliği
A = \{ x \, | \, x = 3k - 1, \, k \in \mathbb{Z} \} kümesi veriliyor. Bu kümede, eğer iki eleman seçersek, bu elemanlar arasında bir eleman daha olup olmadığını kontrol edelim. Örneğin, x_1 = 3k_1 - 1 ve x_2 = 3k_2 - 1 olsun. x_1 < x_2 durumda, arada bir x elemanı varsa:
[
x = \frac{x_1 + x_2}{2}
]
Bu elemanın A kümesine dahil olup olmadığını kontrol ediniz. Genellikle arada olma özelliği A kümesinde sağlanmaz çünkü genelde x tam sayı olmayacaktır.
B) Toplama ve Çarpma İşlemlerine Göre Kapanıklık
Toplama İşlemi:
x_1 = 3k_1 - 1 ve x_2 = 3k_2 - 1 olmak üzere, x_1 + x_2 = 3k_1 - 1 + 3k_2 - 1 = 3(k_1 + k_2) - 2 elde edilir. 3(k_1 + k_2) - 2 formunda olmadığından, toplamada kapalı değildir.
Çarpma İşlemi:
x_1 \cdot x_2 = (3k_1 - 1)(3k_2 - 1) = 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1 elde edilir. Bu form 3m - 1 şeklinde yazılamaz, bu yüzden çarpmada kapalı değildir.
C) Çarpma işlemi ve Eşitsizliği
Her a, b, c \in A ve a < b olmak üzere a \cdot c < b \cdot c eşitsizliğini kontrol edelim. Bu eşitsizlik, c'nin işareti ve büyüklüğüne bağlı olarak değişiklik gösterebilir. Tüm durumlarda geçerli değildir.
D) x^2 > x Eşitsizliği
x \in A olmak üzere x^2 > x eşitsizliğini değerlendirelim. A kümesindeki elemanlar tam sayılardır. Eğer x > 1 ise genellikle x^2 > x doğru olur. Ancak, bu eşitsizliği incelemek için her bir durumu kontrol etmeliyiz.
2. Doğal Sayılar ve Eşitsizlikler
Doğal Sayılar: x^2 \geq x
x \in \mathbb{N} olmak üzere x^2 \geq x eşitsizliğini inceleyelim. x = 0 veya x = 1 dışında, bu eşitsizlik her x için doğrudur. Çünkü herhangi bir pozitif doğal sayı için x^2 genellikle x'ten büyüktür veya eşittir.
3. Bölme İşlemi ve Kapanıklık
Rasyonel Sayılar: Q - \{0\}
Q - \{0\} kümesinin bölme işleminde kapalı olup olmadığını gösterelim. İki rasyonel sayı x = \frac{a}{b} ve y = \frac{c}{d}, x \div y = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}'dir. Bu ifade bir rasyonel sayıdır ve paydayı 0 yapmadığınız sürece rasyonel sayılar kümesinde kalırsınız. Bu nedenle bu küme bölmeye göre kapalıdır.
4. Gerçel Sayılar A = \{x \, | \, x = 10k, \, k \in \mathbb{R}\} Kümesi
Toplama ve Çıkarma İşlemleri:
x_1 = 10k_1 ve x_2 = 10k_2 olduğunda, x_1 + x_2 = 10(k_1 + k_2) ve x_1 - x_2 = 10(k_1 - k_2) olur. Bu nedenle bu küme toplama ve çıkarmaya göre kapalıdır.
Çarpma ve Bölme İşlemleri:
x_1 \cdot x_2 = 100k_1k_2 olup, 100(m) formunda gösterilebileceğinden, çarpmada da kapalıdır. Bölme için, x_1 \div x_2 = \frac{10k_1}{10k_2} = \frac{k_1}{k_2}, bu işlem k_2 \neq 0 olduğu sürece gerçel sayılar kümesinde bulunur ve bu küme bölmeye göre de kapalıdır.
Bu özelliklerin detaylı incelenmesi, kümelerin algebraik özellikler açısından nasıl davrandığını anlamamıza yardımcı olur. Özellikle kapanıklık durumları, kümelerin belirli işlemler altında nasıl değiştiğini gösterir.
Altta ki fotoğrafa ‘‘Bu soruları cevaplar mısın?’’ yazarak tekrar dene istiyorsan.