Görseldeki çalışma kağıdında şu sorular yer alıyor:
-
A kümesinde arada olma özelliğinin olup olmadığını gösteriniz.
A kümesi, A = \{x \,|\, x = 3k - 1, \, k \in \mathbb{Z}\} olarak verilmiş. Arada olma özelliği, iki eleman alındığında bu iki eleman arasında bir eleman olup olmadığının araştırılmasıdır. Kümenin elemanları 3’e bölündüğünde kalan -1 olan sayılardır. Bu nedenle elemanlar arasında sürekli bir şekilde ilerlenir ve x ile y arasında \frac{x+y}{2} bulunuyorsa bu özellik sağlanır.
-
A kümesinin toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
-
Toplama İşlemi: a, b \in A ve a = 3k - 1, b = 3m - 1 için, a + b = 3k - 1 + 3m - 1 = 3(k + m) - 2. Bakıldığında, a + b ifadesi tekrar 3'ün katı bir ifade ettirmektedir fakat -2 olduğu için A kümesinde değildir. Bu nedenle A kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir.
-
Çarpma İşlemi: a \cdot b = (3k - 1)(3m - 1) = 9km - 3k - 3m + 1 ifadesine bakıldığında, yine sonucumuz 3’ün bir katına eksi bir olamayacağı için çarpma işlemine göre kapalı değildir.
-
-
Her a, b, c \in A ve a < b olmak üzere a \cdot c < b \cdot c eşitsizliğinin daima doğru olmadığını gösteriniz.
Eğer c < 0 ise, c ile çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişecektir. Örneğin, a = 2, b = 3, c = -1 için, a \cdot c = -2 ve b \cdot c = -3; burada -2 > -3 olur.
-
x \in A olmak üzere x^2 > x eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
İfade her zaman doğru olmayabilir. Örneğin, x = 0 için x^2 = 0 ve x = 0 eşit olur, ya da negatif bir sayı için yazıldığında duruma göre değişebilir.
-
x \in \mathbb{N} olmak üzere x^2 \geq x eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
Bu eşitsizlik, x = 0 ve x = 1 dışında x^2 > x doğru olur; çünkü doğal sayılarda x^2 ifadesi x'ten büyük ya da eşit olur.
-
\mathbb{Q} - \{0\} kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Rasyonel sayılar kümesinden sıfır çıkarılabilir, yani sıfır olmayan herhangi iki rasyonel sayının bölümü yine bir rasyonel sayıdır, bu yüzden küme bölme işlemine göre kapalıdır.
-
A kümesinin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Burada A kümesi, A = \{x \,|\, x = 10k, \, k \in \mathbb{R}\} şeklinde verilmiş.
- Toplama: x + y = 10k + 10m = 10(k+m) \in A olduğundan kapalı.
- Çıkarma: x - y = 10k - 10m = 10(k-m) \in A olduğundan kapalı.
- Çarpma: x \cdot y = (10k)(10m) = 100km \in A olduğundan kapalı.
- Bölme: x / y = (10k)/(10m) = k/m \in A (m sıfır olmamalıdır), bu işlem rasyonel k/m ifadesini verir fakat her durumda sürekli 10’un katı değilse, her zaman kapalı olmayabilir.
Soruları ele alarak kapalı olma durumu veya eşitsizliklerin sağlanması bu şekildedir.