1. A Kümesinin Özellikleri
A kümesi ( A = {x \mid x = 3k - 1, k \in \mathbb{Z}} ) olarak veriliyor.
a) Arada Olma Özelliği
A kümesi, arada olma özelliğine sahip değil. Çünkü arada olma özelliği, tüm sayılar için geçerli olmayabilir. Mesela ( x = 2 ) ve ( y = 5 ) seçildiğinde, ( z = 3 ) arada olma ilkesi ihlal edilebilir.
b) Toplama ve Çarpma İşlemlerine Göre Kapalılık
-
Toplama Kapalılığı:
( x = 3k - 1 ) ve ( y = 3m - 1 ) için,
[
x + y = (3k - 1) + (3m - 1) = 3k + 3m - 2 = 3(k + m) - 2
]
((k+m)) tamsayı olduğundan, kapanmadığı görülüyor. -
Çarpma Kapalılığı:
( x = 3k - 1 ) ve ( y = 3m - 1 ) için,
[
x \cdot y = (3k - 1)(3m - 1) = 9km - 3k - 3m + 1
]
Bu ifadenin formu ( 3n - 1 ) formunda olmadığından kapanmadığı görülüyor.
c) Eşitsizlik Durumu
- ( a, b, c \in A ) ve ( a < b ) ise bu eşitsizlik doğru değil çünkü ( a \cdot c < b \cdot c ) tüm durumlar için geçerli olmayabilir.
ç) ((x^2 > x)) Eşitsizliği
- Tüm ( x \in A ) için bu eşitsizliğin sağlanması gerekmektedir. Ancak, negatif değerler için bu geçerli olmayabilir.
2. Doğal Sayılarda Eşitsizlik
( x^2 \geq x ) Eşitsizliği:
- Doğal sayılar kümesindeki tüm ( x ) için bu eşitsizlik doğrudur. Çünkü ( x = 0 ) veya ( x \geq 1 ) olduğunda ( x^2 \geq x ) sağlanır.
3. (\mathbb{Q \setminus {0}}) Kümesinin Bölme İşlemi
- Rasyonel sayılar kümesi 0 dışındaki elemanlar için bölme işlemine göre kapalıdır. Çünkü her iki rasyonel sayının bölümü yine bir rasyonel sayıdır.
4. A Kümesinin İşlemler Üzerine İncelenmesi
( A = {x \mid x = 10k, k \in \mathbb{R}} )
-
Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme Kapalılığı:
-
Toplama ve Çıkarma:
Her iki durumda da sonuç yine 10’un katı olacağından kapalıdır. -
Çarpma:
[
x \cdot y = (10k) \cdot (10m) = 100km \to 10 \times 10km
]
Sonuç yine 10’un bir katı şeklindedir, bu nedenle kapalıdır. -
Bölme:
[
\frac{x}{y} = \frac{10k}{10m} = \frac{k}{m}
]
Sonuç yalnızca m sıfır olmadığında tanımlıdır. Bu yüzden kapalıdır.
-
Bu incelemeler ile A kümesinin çeşitli matematiksel özellikleri analiz edilmiştir. Matematikte kümeler üzerinde çalışma yaparken, işlemlerin kapalılığı ve belirli özelliklerin geçerliliği önemli rol alır.