Görseldeki soruları çözmek için aşağıdaki açıklamaları inceleyebilirsiniz:
Soru 1: A Kümesi İle İlgili İfadeler
Küme: ( A = { x ,|, x = 3k - 1, , k \in \mathbb{Z} } )
a) Arada Olma Özelliği:
Bir kümenin arada olma özelliği, iki eleman seçildiğinde bu elemanlar arasında kalan herhangi başka bir elemanın da kümede olmasıdır. ( x = 3k_1 - 1 ) ve ( y = 3k_2 - 1 ) olsun. Aradaki eleman herhangi bir ( z = 3m - 1 ) olmalıdır. ( (x + y)/2 = (3k_1 - 1 + 3k_2 - 1)/2 = ) tam sayı olmadığı için küme arada olmaya kapalıdır.
b) Toplamaya ve Çarpmaya Göre Kapalılık:
- Toplama: ( (3k_1 - 1) + (3k_2 - 1) = 3(k_1 + k_2) - 2 ), sonuç kümenin elemanı değil.
- Çarpma: ( (3k_1 - 1)(3k_2 - 1) = 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1). Sonucun kümede olması için ( 9k_1k_2 - 3k_1 - 3k_2 + 1 = 3m - 1 ) formuna uymalıdır, ancak bu genel olarak mümkün değildir.
c) Eşitsizlik ((a < b)):
( a, b, c \in A ) ve ( a < b ) ise, genellikle ( a \cdot c < b \cdot c ) eşitsizliği doğru değildir çünkü çarpan c negatif olabilir.
ç) Eşitsizlik ((x^2 > x)):
( x \in A ), örneğin ( x = 2 ) gibi, ( x^2 = 4 > 2 ) ama bazı durumlar için bu geçerli olmayabilir. Tek tek kontrol edilmelidir.
Soru 2: Doğal Sayılar İçin Eşitsizlik
( x \in \mathbb{N} ) olması durumunda, ( x^2 \geq x ) her zaman doğrudur çünkü ( x ) sıfırdan büyük eşittir, bu da ( x^2 \geq x ) eşitsizliğini sağlar.
Soru 3: Rasyonel Sayılar ve Bölme Kapalılığı
( \mathbb{Q} \setminus {0} ) kümesi, sıfır olmayan rasyonel sayılar kümesidir. İki rasyonel sayının bölümü yine bir rasyonel sayı olduğundan bu küme bölme işlemine göre kapalıdır.
Soru 4: A Kümesi ve Dört İşlem
Küme: ( A = { x ,|, x = 10k, , k \in \mathbb{R} } )
- Toplama: ( 10k_1 + 10k_2 = 10(k_1 + k_2) ) yine bir eleman.
- Çıkarma: ( 10k_1 - 10k_2 = 10(k_1 - k_2) ) yine bir eleman.
- Çarpma: ( (10k_1)(10k_2) = 100k_1k_2 = 10(10k_1k_2) )
- Bölme: ( \frac{10k_1}{10k_2} = \frac{k_1}{k_2} ), yalnızca ( k_2 \neq 0 ) iken tanımlıdır.
Özet: Bu verilenlerin analizi küme teorisi ve cebirsel özelliklerin kavranmasıyla ilişkilidir. Detaylı çözüm için her adımı kesinlikle kontrol etmek gerekir.