Görselde bir matematik çalışması var ve bu çalışma eşitsizlik ve küme özelliklerini araştırıyor gibi görünüyor. Aşağıda, her bir maddeyi inceleyelim:
1. A Kümesi:
(a) A kümesinde arada olma özelliğinin olup olmadığını gösteriniz.
Bu özellik, bir kümede bulunan her iki eleman arasında başka bir elemanın da bulunması durumda olur, ki bu özelliğe “sıkılık” denir. Eğer A = \{x \mid x = 3k - 1, k \in \mathbb{Z}\} kümesi verilmişse, bu özellik sağlanmıyor olabilir çünkü her bir x, belirli aralıklarla gelir. Detaylı analiz yaparak bir örnek üzerinden bu özellik test edilmelidir.
(b) A kümesinin toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı olup olmadığını söyleyiniz.
Bir kümenin toplama veya çarpma işlemlerine göre kapalı olması, kümedeki iki elemanın toplamı veya çarpımının da kümede olması demektir. Örneğin, x_1 = 3k_1 - 1 ve x_2 = 3k_2 - 1 elemanları için toplama x_1 + x_2 = 3(k_1 + k_2) - 2 formunda olur. Eğer bu da A kümesinin bir elemanı ise, toplama kapalıdır; aksi takdirde, kapalı değildir.
2. a, b, c Elemanları ve Eşitsizlik:
Her a, b, c \in A ve a < b olmak üzere a\cdot c < b \cdot c eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
Bu eşitsizliğin doğruluğu, c’nin pozitifliği veya negatifliği gibi şartlar altında değerlendirilmeli. Eğer A sadece pozitif sayılardan oluşuyorsa, eşitsizlik daima doğrudur. Aksi takdirde, c < 0 olabilir ve eşitsizlik doğru olmayabilir.
3. x^2 > x Eşitsizliği:
A kümesinde x^2 > x eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.
Bu eşitsizlik, x > 1 için doğrudur. Verilen kümede x değerleri kontrol edilerek eşitsizliğin doğruluğu ya da yanlışlığı gösterilebilir.
4. \mathbb{Q} - \{0\} Kümesinin İşlemlere Kapalılığı:
Bu kümenin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Bölme işlemine göre kapalılık, kümedeki herhangi iki elemanının bölümü yine kümede olmak zorundadır. \mathbb{Q} - \{0\} kümesinin, rasyonel sayıların sıfır olmayan bir kümesi olduğu düşünüldüğünde, herhangi iki elemanın birbirine bölümü yine bir rasyonel sayı olur ve küme kapalıdır.
5. 10k Şeklindeki Kümenin dört İşlem Kapalılığı:
A kümesi, x = 10k, k \in \mathbb{R} için bu kümenin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Bu kümeyi inceleyerek dört işlem için kapalılık durumu değerlendirilmelidir. Toplama ve çarpma işlemleri açıkça kapalı görünse de, bölme işlemi için dikkat bir inceleme gereklidir. k reel sayı iken, kümenin her dört işlem için de kapalı olması beklenebilir çünkü herhangi iki 10k şekilli sayıdan biri diğerini bölerse yine bir 10k şekilli sayı elde edilir.
Her bir adımda kapsamlı örnekler ve karşılaştırmalarla detaylı bir inceleme yaparak doğruluk veya yanlışlıkları netleştirilmelidir.