Eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz

YKS TYT
1

1732440536652347962660414606910
1732440536652347962660414606910720×1598 33.9 KB

2

1. x \in \mathbb{A} olmak üzere x \geq x eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz

Bu eşitsizlik, temel matematik prensibi olan “kendiyle kendisi arasındaki eşitlik” ya da “özdeşlik” prensibine dayanmaktadır. Herhangi bir gerçek sayı x için, x \geq x eşitsizliği her zaman doğrudur. Bu, sayının kendisiyle eşit ya da büyük olduğuna dair bir önermedir.

2. x \in \mathbb{N} olmak üzere x^2 \geq x eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz

Doğal sayılar (\mathbb{N}) negatif olmayan tamsayılardır. x \in \mathbb{N} için x^2 \geq x ifadesinin geçerli olup olmadığını inceleyelim:

  • x = 0 için: 0^2 = 0, dolayısıyla 0 \geq 0 doğru.
  • x = 1 için: 1^2 = 1, dolayısıyla 1 \geq 1 doğru.
  • x = 2 için: 2^2 = 4, dolayısıyla 4 \geq 2 doğru.
  • Genel olarak, x \geq 2 için x^2 \geq x her zaman doğrudur, çünkü x^2 = x \cdot x ve x \geq 1 olduğundan, x^2 ifadesi her zaman x'ten büyük olur.

Buradan hareketle, x^2 \geq x eşitsizliği x \in \mathbb{N} olan her durum için doğrudur.

3. \mathbb{Q} - \{0\} kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz

Rasyonel sayılar kümesi \mathbb{Q}, sıfır hariç tüm elemanları içerir. \mathbb{Q} - \{0\} kümesi, sıfır dışındaki tüm rasyonel sayıları ifade eder. Bölme işleminin tanımlı olabilmesi için paydanın (bölünenin) sıfır olmaması gerekmektedir ki bu koşul kümede karşılanmıştır.

İki rasyonel sayı a/b ve c/d (c/d \neq 0) için,

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Bu ifade yüzdesel bir ifadedir ve a \cdot d, b \cdot c ile çarpıldığında her zaman bir rasyonel sayı olur. Dolayısıyla, \mathbb{Q} - \{0\} kümesi bölme işlemine göre kapalıdır.

4. A = \{ x\ |\ x = 10k,\ k \in \mathbb{R} \} kümesinin toplama işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz

A kümesi, her bir elemanı 10k formunda olan sayıları içerir. İki elemanın toplamı üzerinde düşünelim: x_1 = 10k_1 ve x_2 = 10k_2, burada k_1, k_2 \in \mathbb{R}.

Toplamları şöyle olur:

x_1 + x_2 = 10k_1 + 10k_2 = 10(k_1 + k_2)

k_1 ve k_2 her ikisi de gerçek sayılar olduğundan, k_1 + k_2 de bir gerçek sayıdır. Dolayısıyla x_1 + x_2, A kümesine aittir, çünkü 10(k_1 + k_2) formundadır.

Bu nedenle, A kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.