Matematikk problem

YKS TYT
1

Aralarında Alican ve Sadıkın bulunduğu 10 kişi arasından 3 kişi yan yana sıralanacaktır.

Alican ve Sadıkın sıranın başında ya da sonunda olmadığı kaç farklı diziliş oluşturulabilir?

2

Nisaaa’nın sorusu: Aralarında Alican ve Sadık’ın bulunduğu 10 kişi arasından 3 kişi yan yana sıralanacaktır. Alican ve Sadık’ın sıranın başında ya da sonunda olmadığı kaç farklı diziliş oluşturulabilir?

Cevap:

Bu soru, kombinasyon ve permütasyon kurallarını uygulamayı gerektirir. Alican ve Sadık’ın sıranın başında veya sonunda olmadığı durumları düşünerek, kaç farklı diziliş oluşturulabileceğini hesaplayabiliriz.

Adım Adım Çözüm:

  1. Toplam Kişi Sayısı:

    • Toplamda 10 kişi var. Alican ve Sadık bu grupta.

  2. Başlangıç ve Bitiş Koşulunu Anlamak:

    • Alican ve Sadık, sıranın başında veya sonunda olamaz. Yani bu iki pozisyonun dışında 8 kişi arasında yer alabilirler.

  3. Alican ve Sadık’ın Ortada Olduğu Durumlar:

    • Alican ve Sadık, sıranın başında veya sonunda değilse, ortadaki 8 pozisyondan iki tanesinde yer alabilirler.

  4. 3 Kişilik Grup İçin Pozisyonlar:

    • Alican ve Sadık baş ve sonda olamaz. Ortadaki 8 kişilik kısımdan 2 pozisyon onlar için ayrılır ve 1 pozisyon daha seçilir.

  5. Alican ve Sadık’ın Başta veya Sonda Olmadığı Durumları Bulma:

    • Alican ve Sadık ortadaki 8 pozisyon arasında herhangi bir yere yerleştirilebilir ve yanlarına 8 kişiden bir kişi seçilebilir.
    • Pozisyonlar: Ortada toplam 8 pozisyon var. Alican ve Sadık ikilisi bu 8 pozisyondan ikisini işgal edebilir. Örneğin, 8 pozisyondan 2 tane seçeriz, ve kalan bir pozisyon için de başka bir kişi seçeriz.

  6. Dizi Oluşturma:

    • Alican ve Sadık’ın sırası ile seçtiğimiz üçüncü kişi arasında toplam 3! (3 faktöriyel) dizilim yapılabilir.

Hesaplama:

8 pozisyondan 2 tane Alican ve Sadık için seçilip, her iki kişi arasında üçüncü bir kişi yerleştirilebilir:

  • Alican ve Sadık için pozisyon seçimi:

    • \binom{8}{2} = 28 farklı seçim

  • Geriye kalanlar arasında üçüncü kişinin seçilmesi:

    • Ortadaki yerleşime uygun şahıs seçimi (7 kişi kalır): 7

  • Dizilişlerin sayısı:

    • Kendi aralarında sıralama: 3! = 6

Sonuç:

28 (pozisyon seçimi) x 7 (kişi seçimi) x 6 (dizilim) = 1176 farklı diziliş oluşturulabilir.

Özet: Alican ve Sadık’ın başta veya sonda olmadığı şartlarda, toplamda 1176 farklı diziliş oluşturulabilir.