Verilen Sorunun Çözümü
Sorunun ifadesi şu şekildedir:
\binom{12}{2} + \binom{12}{4} + \binom{12}{6} + \binom{12}{8} + \binom{12}{10} + \binom{12}{12}
Bu tür bir toplam, “binom açılımı” üzerinden çözülebilir.
Binom Açılımı
Binom açılımı, (1 + x)^n ifadesinin açılımını verir:
$$(1 + x)^{12} = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} x^k$$
Eğer x = 1 seçilirse,
$$(1 + 1)^{12} = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k}$$
Bu denklem basitçe 2^{12} = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} olur.
Çözüm
1’lerle ilgili terimleri (\binom{12}{0}, \binom{12}{1}, \binom{12}{3}, \binom{12}{5}, \ldots ) çıkarttığımızda:
\binom{12}{2} + \binom{12}{4} + \ldots + \binom{12}{12}
Bu, sadece çift katsayılı terimleri ifade eder. İki terimli bir toplamda, bu toplamların yarısına (2^{11}) eşit olduğunu biliyoruz.
Genel formül:
$$2^{n-1}$$
Yani;
$$2^{11}$$
Sonuç
Verilen işlemin sonucu:
- 2) 2^{11}
Özet: Sorunun çözümü binom açılımı ve çift katsayılar üzerinden hesaplanarak 2^{11} olarak bulunur.