Görselde verilen matematik sorusunda binom açılımı konseptleri kullanılmış. Problem, iki binom ifadesinin belirli bir terimlerinin katsayılar oranının hesaplanmasını istiyor.
Sorudaki ifade:
[
\frac{(2x^3 + 3y^3)^8 \text{ içindeki 5. terimin katsayısı}}{(2x^3 + 3y^4)^7 \text{ içindeki 5. terimin katsayısı}}
]
Binom Açılımı:
Genel terimi T_{k+1}, (a + b)^n ifadesi için:
[
T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
]
1. Üstteki Binom (n = 8):
(2x^3 + 3y^3)^8 için 5. terim (k = 4):
[
T_5 = \binom{8}{4} (2x^3)^{4} (3y^3)^4
]
[
= \binom{8}{4} \cdot 2^4 \cdot (x^3)^4 \cdot 3^4 \cdot (y^3)^4
]
[
= \binom{8}{4} \cdot 2^4 \cdot 3^4 \cdot x^{12} \cdot y^{12}
]
2. Alttaki Binom (n = 7):
(2x^3 + 3y^4)^7 için 5. terim (k = 4):
[
T_5 = \binom{7}{4} (2x^3)^{4} (3y^4)^3
]
[
= \binom{7}{4} \cdot 2^4 \cdot (x^3)^4 \cdot 3^3 \cdot (y^4)^3
]
[
= \binom{7}{4} \cdot 2^4 \cdot 3^3 \cdot x^{12} \cdot y^{12}
]
Terimlerin Katsayıları Oranı:
Katsayılar oranı:
[
\frac{\binom{8}{4} \cdot 2^4 \cdot 3^4}{\binom{7}{4} \cdot 2^4 \cdot 3^3}
]
[
= \frac{\binom{8}{4} \cdot 3}{\binom{7}{4}}
]
Kombinasyonları Bulalım:
[
\binom{8}{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70
]
[
\binom{7}{4} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35
]
Oran:
[
\frac{70 \cdot 3}{35} = 6
]
Yanıt: E şıkkı, 6.