Soru:
[
\binom{n}{n-2} + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n+2} + \binom{n}{n+1} = 67
]
eşitliğini sağlayan ( n ) değeri kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle kombinasyonların özelliklerini hatırlayalım. Kombinasyonlar, bir kümeden eleman seçme yollarını gösterir ve aşağıdaki gibi hesaplanır:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Soruya bağlı olarak, negatif veya geçersiz durumlarda kombinasyonun değeri sıfırdır.
-
İlk Terim:
[\binom{n}{n-2} = \frac{n!}{(n-2)!2!} = \frac{n(n-1)}{2}]
-
İkinci Terim:
[\binom{n}{n-1} = \frac{n!}{(n-1)!1!} = n]
-
Üçüncü ve Dördüncü Terimler:
(\binom{n}{n+2}) ve (\binom{n}{n+1}) terimleri geçerliliği yoktur (çünkü (n+2) ve (n+1) seçilemez), bu yüzden her ikisinin değeri de sıfırdır.
Bu yüzden ifade sadeleşir:
[
\frac{n(n-1)}{2} + n = 67
]
Bu denklemi çözmek için:
[
\frac{n(n-1)}{2} + \frac{2n}{2} = 67
]
[
\frac{n(n-1) + 2n}{2} = 67
]
[
n(n-1) + 2n = 134
]
[
n^2 - n + 2n = 134
]
[
n^2 + n - 134 = 0
]
Kökleri Bulma:
Çözüm için, ikinci dereceden denklemi çözmek zorundayız:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Burada ( a = 1, b = 1, c = -134 ).
[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-134)}}{2 \cdot 1}
]
[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 536}}{2}
]
[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{537}}{2}
]
539 gerçek kökü yaklaşık 23’dür. Buradan yaklaşık tamsayı değerleri belirlemek gerekir.
Sonuç:
Bu problemi çözerek, uygun bir ( n ) değeri bulunabilir ve yaklaşık çözümle ( n ) değerini belirleyebilirsiniz.