Fotoğraftaki Matematik Sorusu
Soru:
Verilen ifade:
\binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \ldots + \binom{n}{n-1} = 62
Bu eşitliği sağlayan n değeri kaçtır?
Çözüm:
Binom Açılımı:
Binom açılımında, (1+1)^n = 2^n ifadesi kullanılır. Bu açılım:
\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \ldots + \binom{n}{n} = 2^n
eşitliğini verir.
Burada istenilen:
Verilen durumda \binom{n}{0} ve \binom{n}{n} terimleri dışında kalanların toplamı verilmiş. Yani:
2^n - \binom{n}{0} - \binom{n}{n} = 62
Bu durumda \binom{n}{0} = 1 ve \binom{n}{n} = 1 olduğu için:
2^n - 2 = 62
Denklemi Çözmek:
2^n - 2 = 62 \Rightarrow 2^n = 64
2^n = 64 \Rightarrow n = 6
Çünkü 2^6 = 64.
Final Cevap:
n = 6 değerindedir. Doğru cevap B) 6.