Problem:
Verilen ifade:
Bu ifadenin bir doğal sayı olması için, paydanın payı tam bölmesi gerekmektedir. İlk olarak faktöriyel terimlerini açarak inceleyelim.
Çözüm:
-
Faktöriyel İfadelerin Açılması:
- (36!) terimini (26!) cinsinden yazabiliriz:
36! = 26! \times (27 \times 28 \times \ldots \times 36) -
Payın İfadesi:
26! + 36! = 26!(1 + 27 \times 28 \times \ldots \times 36) -
Bölme Şartı:
Tanım gereği, ifadenin doğal sayı olabilmesi için (26! + 36!) ifadesi (4^n) ile tam bölünebilmelidir. Bu durumda:
-
36!'deki 2’lerin sayısı: Her bir çarpan içinde kaç tane 2 bulunduğunu bulmalıyız:
- (36!) faktöriyelinde,
[
\text{Toplam iki sayısı} = \left\lfloor \frac{36}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{36}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{36}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{36}{16} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{36}{32} \right\rfloor = 18 + 9 + 4 + 2 + 1 = 34
]
- (36!) faktöriyelinde,
-
(26!) faktöriyelinde kalan 2’lerin sayısı (çünkü (1) zaten tam olarak bölünebiliyor):
[
\left\lfloor \frac{26}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{16} \right\rfloor = 13 + 6 + 3 + 1 = 23
]
Bu durumda, (36!) ifadesindeki 2’lerin sayısı, (26!) ifadesinin 2’lerinin sayısından 34 - 23 = 11 kat daha fazladır.
-
-
Doğal Sayı Koşulu:
[
26!(1 + \text{çarpan}) \equiv 0 \pmod{4^n}
]
Buradaki ifade 36’nın çarpanları içindeki 2 katı ile 4’ün katı olarak yazılabilir ve (n)'in alabileceği maksimum değer 11’dir.
Sonuç olarak, (n)'in alabileceği tüm doğal sayı değerlerinin toplamı sorulmuştur ve bu durumda (n = 0) ve (n=11) arasındaki ({0, 1, 2, \dots, 11}) tam sayıların toplamı gerekmektedir:
[
S = 0 + 1 + 2 + \dots + 11 = \frac{11 \times (11 + 1)}{2} = \frac{11 \times 12}{2} = 66
]
Bu nedenle (n)'in alabileceği doğal değerlerin toplamı 66’dır. Yani doğru seçenek A) 66’dır.