Boyunun uzunluğu 180 cm olan İbrahim’in kütlesinin boyuna oranı başlangıçta 5/9 iken belli bir süre diyet uyguladıktan sonra 4/9’a düşmüştür. İbrahim’in boyu değişmediğine göre kaç kg zayıflamıştır?
Cevap:
Aşağıda bu sorunun çözümünü, oran-orantı kavramlarından yola çıkarak detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Aynı zamanda bu soruyla ilişkili kavramları derinlemesine ele alarak, 2000 kelimelik kapsamlı bir açıklama sunacağız. Bu sayede öğrenciler oran-orantı konusunu hem günlük hayattaki örneklerle bağdaştırabilecek hem de matematiksel çözüm yöntemlerini daha iyi kavrayabilecekler.
Geniş Bir Bakış: Oran ve Orantı Kavramları
Oran (Ratio) Nedir?
- Oran, iki niceliğin birbirine bölünmesiyle elde edilen sayıdır. Örneğin, bir sınıfta 8 erkek ve 12 kız varsa erkeklerin sayısının kızların sayısına oranı 8/12 (ya da sadeleştirilmiş haliyle 2/3) olarak ifade edilir.
- Bu soruda da, İbrahim’in kütlesi (kilogram cinsinden) ile boyu (santimetre cinsinden) arasında bir oran söz konusudur. “Kütlesinin boyuna oranı 5/9” ifadesi, boyunun her 9 cm’sine karşılık 5 kg ağırlığa sahip olduğunu gösterir.
Orantı (Proportion) Nedir?
- Orantı, iki veya daha fazla oranın eşitliğidir. Örneğin \frac{A}{B} = \frac{C}{D} şekilde yazıldığında, A’nın B’ye oranı C’nin D’ye oranına eşitse buna orantı denir.
- İbrahim’in boyu 180 cm olduğunda ve her 9 cm boy uzunluğuna 5 kg kütle düştüğünde, “$\frac{\text{kütle}}{ \text{9 cm} } = \frac{5 \text{ kg}}{9 \text{ cm}}$ eşitliği” kullanılarak toplam kütle hesaplanabilir.
Problemin Detaylı İncelemesi
-
Başlangıçtaki Oran: 5 kg / 9 cm
- Soruya göre, İbrahim’in kütlesinin boyuna oranı “5 kg / 9 cm” şeklindeydi.
- Bu demek oluyor ki, her 9 cm için 5 kg düşmektedir.
-
İbrahim’in Boyu: 180 cm
- İbrahim’in boyu 180 cm verilmiştir ve soru boyunca boyunun değişmediği özellikle belirtilmiştir.
-
Diyet Sonrası Oran: 4 kg / 9 cm
- Diyet programından sonra, İbrahim’in kütlesinin boyuna oranı 4 kg / 9 cm şeklinde güncellenmiştir.
- Yani diyet sonrasında her 9 cm için 4 kg kütle düşmektedir.
-
Kaç kg Kilo Verildiğinin Hesaplanması
- Başlangıçta hesaplanan kütle ile diyet sonrası hesaplanan kütle arasındaki fark bize kaybedilen (verilen) kiloyu gösterecektir.
Aşağıda bu adımları tek tek, çok ayrıntılı biçimde ve orantı kavramı üzerinden nasıl çözüldüğünü göreceğiz.
Adım Adım Çözüm Yöntemi
Adım 1: Başlangıç Kilosunun Hesaplanması
- Başlangıçta verilen oran: 5 kg / 9 cm
- Bu oran, 180 cm’lik boy için kaç kg’a karşılık gelir?
Orantı ifadesi şu şekilde kurulabilir:
Burada x, İbrahim’in başlangıçtaki toplam kütlesini ifade eder. Bu orantıyı çözelim:
Önce 9 ile 180’i sadeleştirelim:
Dolayısıyla,
İbrahim’in başlangıçtaki toplam kütlesi 100 kg’dır.
Adım 2: Diyet Sonrası Kilonun Hesaplanması
- Diyet sonrası verilen oran: 4 kg / 9 cm
- Yine aynı şekilde boyu değişmediği için 180 cm üzerinden hesap yapacağız:
Burada y, İbrahim’in diyet sonrasındaki toplam kütlesidir. Yine aynı orantıyı çözelim:
9 ile 180 sadeleştirilir:
Dolayısıyla,
İbrahim’in diyet sonrasındaki toplam kütlesi 80 kg’dır.
Adım 3: Verilen Kilo Miktarı
Başlangıç kilosu (100 kg) ile diyet sonrası kilosu (80 kg) arasındaki fark:
İbrahim toplam 20 kg zayıflamıştır.
Hesaplamaların Genel Mantığı
Oran-orantı problemlerinde izlenen temel yaklaşım, başlangıçta her 9 cm boy için düşen kg miktarını bulmaktır. Sonrasında bu oranın 180 cm’de toplam kaç kg’a tekabül ettiğini bulmak için basit bir çarpma yaparız. Bu orantı doğrusal bir orantı olup, “yükseklik arttıkça kütle de aynı ölçüde artar” mantığı ile işlem yapılır. Diyet sonrası oranda ise aynı yaklaşım tersine işler: Her 9 cm için 4 kg verilmişse, 180 cm için 4’ün 20 katı, yani 80 kg elde edilir.
Önemli Not: Boy sabit kaldığı sürece bu tarz oransal hesaplar sıkça karşımıza çıkar. Aynı mantık, örneğin araba yakıt tüketimi (100 km’de kaç litre), inşaat sektörü (1 m²’de kaç briket kullanılır?), yemek tarifleri (4 kişilik tarif, 2 kişiye göre nasıl ayarlanır?) gibi birçok farklı alana uygulanabilir.
Oran-Orantı Hakkında Derinlemesine Bilgi
Bu bölümde öğrencilere konunun temelini daha net kavratmak amacıyla, oran-orantı kavramı detaylı şekilde açıklanmıştır.
-
Temel Tanımlar
- Oran (Ratio): İki sayının bölme işlemiyle (bölüm) karşılaştırılmasıdır.
- Orantı (Proportion): İki oranın birbirine eşitliği durumudur.
-
Doğru Orantı (Direct Proportion)
- Bir nicelik arttıkça diğerinin de aynı oranda artması durumuna doğru orantı denir.
- Formül şeklinde belirtirsek: A \propto B \rightarrow \frac{A}{B} = sabit.
-
Ters Orantı (Inverse Proportion)
- Bir nicelik arttıkça diğerinin azalması durumuna ters orantı denir.
- Formül şeklinde: A \propto \frac{1}{B} \rightarrow A \times B = sabit.
Burada incelediğimiz problem doğru orantının bir örneğidir: Boy sabit ve kütle-boy oranı üzerinden hesap yapıldığında, “her 9 cm için belirli kg aralığı” ifadesi doğru orantı temelli değerlendirilir.
- Orantı Çözüm Yöntemleri
- Çapraz Çarpım (Cross Multiplication): \frac{a}{b} = \frac{c}{d} ise ad = bc eşitliği kullanılır.
- Tablo Yöntemi (Unitary Method): Her 1 birimin ne kadar olduğunun bulunmasıyla çift taraflı hesaplar yapılır.
Konuyu Pekiştirmek İçin Ek Örnekler
-
Yemek Tarifi Örneği
- 4 kişilik bir tarifte 500 g un kullanılıyor olsun. 1 kişilik tarifte ne kadar un gerekir?
- Orantı: \frac{500 \text{ g}}{4 \text{ kişi}} = \frac{x \text{ g}}{1 \text{ kişi}} \implies x = \frac{500}{4} = 125 \text{ g}.
- Yani 1 kişi için 125 g un gerekli.
-
Araba Yakıt Örneği
- 100 km için 8 L yakıt tüketen bir araç 250 km için ne kadar yakıt tüketir?
- Orantı: \frac{8 \text{ L}}{100 \text{ km}} = \frac{y \text{ L}}{250 \text{ km}} \implies y = \frac{8 \times 250}{100} = 20 \text{ L}.
Bu örnekler, İbrahim’in kilo-boy hesabı ile benzer mantığa sahiptir. Tek fark, problemde “9 cm için 5 kg” ve “diyet sonrası 9 cm için 4 kg” gibi bir ifade yer almasıdır.
Hem Sağlık Hem Matematik Yönü
İbrahim’in kilosunun boyuna oranının düşmesi genellikle kilo vermeyi ifade eder. Tıp dilinde veya spor bilimi alanında “boy-kilo indeksi” denildiğinde genelde BMI (Body Mass Index / Vücut Kitle İndeksi) akla gelse de, burada verilen oran BMI’den farklıdır. Yine de bu soru, vücut ölçüleri ile ağırlık arasındaki temeli orantı üzerinden incelemenin güzel bir örneğini sunar.
-
Vücut Kitle İndeksi (BMI) Kapsamında Yaklaşım
- BMI formülü: \text{BMI} = \frac{\text{kg cinsinden ağırlık}}{(\text{m cinsinden boy})^2}.
- Bizim sorumuzda ise doğrusal bir oran söz konusu. Yani “her 9 cm’de 5 kg” ifadesi, BMI formülünden farklı bir yaklaşımdır.
-
Güvenli Kilo Verme
- Soruda İbrahim’in ne kadar süre diyet yaptığı veya ne tür bir diyet uyguladığı belirtilmemiştir. Ancak 20 kg gibi bir kilo kaybı, son derece büyük bir miktar olabilir ve doktor gözetiminde yapılması gerekir.
- Öğrenciler, bu örneğin sadece matematiksel bir soru olduğunu unutmamalıdır. Gerçek hayatta kilo verme hedefleri ve sağlık konuları daha kapsamlı değerlendirme ister.
Detaylı Tablo: Adım Adım Çözüm
Aşağıdaki tabloda, soruda geçen her bir adımı özet halinde görebilirsiniz:
| Adım | İşlem | Hesaplama |
|---|---|---|
| 1. Başlangıç Oranı Belirleme | İbrahim’in kütlesinin boyuna oranı 5/9, boyu 180 cm. Bu ilk orandan toplam kilosu hesaplanacak. | $$ \frac{5 \text{ kg}}{9 \text{ cm}} = \frac{x \text{ kg}}{180 \text{ cm}} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{5 \times 180}{9} = 100 \text{ kg} $$ |
| 2. Diyet Sonrası Oranı Belirleme | Diyet sonrası kütlesinin boyuna oranı 4/9, boyu yine 180 cm. Yeni kiloyu hesaplayacağız. | $$ \frac{4 \text{ kg}}{9 \text{ cm}} = \frac{y \text{ kg}}{180 \text{ cm}} \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{4 \times 180}{9} = 80 \text{ kg} $$ |
| 3. Kilo Kaybını Bulma | Başlangıç kilo – diyet sonrası kilo = verilen kilo miktarı. | $$ 100 \text{ kg} - 80 \text{ kg} = 20 \text{ kg} $$ |
| 4. Sonuç | İbrahim’in 20 kg zayıfladığı bulunur. | Cevap: 20 kg |
Tablodan da görüldüğü üzere, problemin çözümünde üç temel adım vardır ve bu adımlar basit bir orantı hesabıyla hızlıca çözülebilir.
Oran-Orantının Günlük Hayattaki Yansımaları
-
Alışveriş Yaparken
- Marketlerde fiyatların karşılaştırılmasında bir ürünün kilogram fiyatı ile diğer ürünün kilogram fiyatı orantılanarak hangisinin daha avantajlı olduğu anlaşılır.
-
Pişirme ve Tarifler
- Dört kişilik yemek tarifini altı kişiye göre uyarlamak isteyen bir aşçı “oran-orantı” işlemlerini kullanarak malzeme listesini düzenler.
-
Hız-Zaman-Yol İlişkisi
- Bir aracın 1 saatte kat ettiği mesafe “doğru orantı” ile öngörü üzerinde kullanılabilir. Örneğin 1 saatte 80 km gidebilen bir aracın 3 saatte 240 km gideceği hesaplanabilir.
-
Harita ve Ölçek
- Haritalarda da mesafeler belli bir ölçekle küçültülmüştür. Örneğin, 1/100.000 ölçekli bir haritada, 1 cm mesafe gerçekte 1 km’ye karşılık gelebilir. Burada da oran kavramı vardır.
Konunun Öğrenilmesini Kolaylaştıracak İpuçları
- Çapraz Çarpım Ezberi: Oran ve orantı sorularında birer “kestirme” yöntem olarak çapraz çarpım (cross multiplication) kullanılabilir.
- Birim Analizi: “9 cm’de 5 kg, 1 cm’de ne kadar?” mantığını kavramak için önce 1 cm’ye düşen ağırlığın bulunması, sonra 180 cm için çarpma yapılması tekniği oldukça faydalıdır.
- Makul Sonuç Kontrolü: Sonucu bulduğunuzda, mantık çerçevesinde olup olmadığına her zaman bakın. İbrahim’in başlangıçta 100 kg olması ve sonunda 80 kg olması makul bir sonuçtur. Örneğin 1000 kg gibi bir sonuç çıksaydı, orantıyı veya sadeleştirmeyi yanlış yaptığınızı anlardınız.
Sık Yapılan Hatalar
-
Oranı Doğru Okumamak
- “5 kg / 9 cm” ifadesini yanlış anlama: Kimi öğrenciler 5 kg’yi 9 cm ile çarpıp daha sonra tekrar 180’e bölmeye kalkışabilir.
- Oysa doğru işlem, \frac{5}{9} = \frac{x}{180} şeklinde doğrudan orantılır.
-
Sadeleştirme Hataları
- \frac{5 \times 180}{9} ifadesinde 180 ile 9’u sadeleştirmek yerine 5 ile 9’u yanlış sadeleştirme gibi hatalar paradoksal sonuçlara götürebilir.
-
Çevresel Bilgileri Karıştırmak
- Soruda “diyet” ifadesi geçmesi bazen öğrenciyi “daha detaylı veri mi var?” diye yanılgıya sürükleyebilir, halbuki sadece matematiksel oran verisi vardır.
-
Boy Birimi Dönüşümü
- Eğer soruda cm yerine metre cinsinden boy istenseydi, veriyi metreye çevirip orantı kurulması gerekebilirdi. Ancak burada cm cinsinden doğrudan verilmiş, ek bir dönüşüm yok.
Matematiksel ve Pedagojik Yaklaşım
Öğrencilerin bu konuyu anlaması için;
-
Temel Kavramları Bolca Örnekle Pekiştirmek
- Oran ve orantı örneklerini maddi yaşam deneyimlerine uygulamak (markette kilo-alışveriş, yakıt masrafları, vb.).
-
Sonucu Sözelliğe (Statement) Dönüştürme
- “Başlangıçta 100 kg, sonda 80 kg, fark 20 kg” şeklinde kendimizce açıklama eklemek, konuyu pekiştirmede önemlidir.
-
Tablolaştırma Yöntemi
- Yukarıda verdiğimiz tablo gibi adımları tablo halinde sunmak, karmaşayı engeller.
-
Soruları Önce Basit Hale Getirip Ayırmak
- Büyük sayılar yerine önce “9 cm’ye düşen 5 kg” ifadesini küçük örnekle (9 cm boylu bir cisim olsaydı 5 kg mı olurdu gibi) incelemek, sonra 180 cm’ye geçmek faydalı olur.
Ek Uygulamalar ve Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmaları yaparak konudaki hâkimiyetinizi artırabilirsiniz:
-
Uygulama-1
- Bir sporcunun 1 saatte 12 km koştuğu biliniyor. 2,5 saatte kaç km koşar?
- Çözüm: \frac{12 \text{ km}}{1 \text{ saat}} = \frac{x \text{ km}}{2,5 \text{ saat}} \implies x = 30 \text{ km}.
-
Uygulama-2
- “3 kg muz 15 TL” ise 5 kg muz kaç TL olur?
- Çözüm: \frac{3 \text{ kg}}{15 \text{ TL}} = \frac{5 \text{ kg}}{y \text{ TL}} \implies y = \frac{5 \times 15}{3} = 25 \text{ TL}.
-
Uygulama-3
- 2 metre kumaş kullanan bir terzi, 8 adet yastık kılıfı dikiyor. 5 metre kumaş ile kaç yastık kılıfı dikebilir?
- Çözüm: \frac{8 \text{ adet}}{2 \text{ m}} = \frac{n \text{ adet}}{5 \text{ m}} \implies n = \frac{8 \times 5}{2} = 20 \text{ adet}.
Bu tür örnekler de tıpkı İbrahim’in kilo hesaplamasında olduğu gibi basit orantı kurallarıyla çözülür.
Sonuç ve Özet
- Başlangıçta İbrahim’in kütlesinin boyuna oranı 5 kg / 9 cm çok net bir şekilde bize 180 cm’lik bir boy için 100 kg ağırlık verdi.
- Diyet sonrasında aynı boyda (180 cm) kütlesinin boyuna oranı 4 kg / 9 cm olunca kütle 80 kg olarak bulundu.
- İki değer arasındaki fark, 100 kg - 80 kg = 20 kg olup bu değer İbrahim’in verdiği kiloyu göstermektedir.
Dolayısıyla cevap 20 kg zayıflamadır. Soruda bu seçenek A) 20 olarak verilmiştir.
Bu çözüm sürecinde büyük resmi asla göz ardı etmemek önemlidir: Sorunun merkezinde basit bir doğru orantı vardır. “Verilen oran x boy = Toplam kütle” şeklinde ilerleyen mantık basit ancak çok etkilidir. Öğrenciler, benzer sorular dahil olmak üzere, tüm oran-orantı ve günlük yaşam uygulamalarında bu yöntemi kullanabilirler.