Yukarıda verilen problemle ilgili açıklama:
Verilen ABCD karesi, her defasında dört eş kareye bölünmüş ve bu bölme işlemi toplamda üç kez uygulanarak en küçük kare elde edilmiştir. Burada bize, en küçük karenin alanının (b^2) cinsinden tam kare bir doğal sayı olduğu belirtilmiş.
Çözüm Adımları:
-
İlk Bölme:
- ABCD karesinin alanı (S) ve kenar uzunluğu (k) olsun. İlk bölmede, (S/4) alanına sahip dört adet kare oluşur.
-
İkinci Bölme:
- Bu dört kareden bir tanesi tekrar dört eş kareye bölünür. Yani kenar uzunluğu (k/2) olur ve her bir karenin alanı ((S/16)) olur.
-
Üçüncü Bölme:
- Aynı işlem bir kez daha yapılır. Bu defa karesi bölünen karenin her bir parçası (k/4) kenar uzunluğuna sahiptir ve her karenin alanı ((S/64)) olur.
-
Son Bölme:
- Son kez bölündüğünde, en küçük karenin kenar uzunluğu (k/8) ve alanı (S/256) olur.
Burada verilmesi gereken (b^2) cinsinden tam kare bir doğal sayı olduğuna göre:
[
S/256 = b^2
]
Burada (S = 256 \times b^2 ) olmalıdır çünkü (S/256) bir tam kare olmalıdır.
Olası Değerler:
Şimdi verilen seçeneklere bakalım:
A) (16b^2)
B) (36b^2)
C) (64b^2)
D) (100b^2)
256 katsayı olması gerektiğinden, (S = 256b^2) olabileceğinden; seçeneklerde yalnızca 64b^2 uygundur. Çünkü 256, 64’ün üstüne 4 katıdır (çünkü bir üst bölme karesi dört eş parçaya ayrılmıştı).
Cevap:
C) 64 br(^2)
Bu analiz, en küçük karenin alanını bulurken adım adım nasıl ilerlemeniz gerektiğini göstermektedir.