Matematik yazılı

YKS TYT
1

IMG-20250122-WA0000
IMG-20250122-WA0000720×1280 34.4 KB

2

Verilen Matematik Sorularının Çözümleri

Bu sınavda verilen soruların her birinin ayrıntılı çözümlerini aşağıda bulabilirsiniz. Bu çözümleri yaparak benzer türdeki problemlere yaklaşım yollarını öğrenebilir ve anlamayı pekiştirebilirsiniz.

Soru 1:

Denklemin Köklerini Bulun:

\frac{3x-1}{x+3} - \frac{x-1}{x+2} = 0

Çözüm:

İlk olarak, paydaların ortak paydasını bularak ifadeleri sadeleştireceğiz:

  1. Ortak payda: (x+3)(x+2).
  2. İşlemi yaparsak,
    \frac{(3x-1)(x+2) - (x-1)(x+3)}{(x+3)(x+2)} = 0
  3. Payı hesaplayalım:
    (3x-1)(x+2) = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2
    (x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3
  4. Aradaki fark:
    (3x^2 + 5x - 2) - (x^2 + 2x - 3) = 2x^2 + 3x + 1
  5. Pay olan 2x^2 + 3x + 1=0 eşitliğini çözmeliyiz.
    • Diskriminant (b^2 - 4ac) hesaplayalım:
      b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1
    • Diskriminant pozitif, dolayısıyla iki farklı reel kök vardır:
      x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm 1}{4}
      x_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}
      x_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -1
  6. Bulunan kökler x = -\frac{1}{2} ve x = -1 denklemi sağlar. Ancak payda sıfır olmamalı:
    • x \neq -2 ve x \neq -3 (bu yüzden denklemi kontrol edelim uygun mu diye)

Soru 2:

Doğrular Arasında Kalan Üçgenin Alanını Bulun:

  • x=0
  • y=0
  • 2y+x-1=0

Çözüm:

  1. Doğruların kesiştiği noktaları bulalım:

    • x=0 ve y=0 ile kesişme noktasında zaten orjindeyiz.
    • x = 0 üzerine bu doğruları kesen noktalar:
      • 2y + 0 - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}
    • y = 0 doğrusu üzerinde:
      • 2 \cdot 0 + x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1

  2. Kesişme noktaları: (0,0), (1,0), (0, \frac{1}{2})

  3. Üçgenin alanı:

    • Dik üçgen olduğundan, alan:
    \text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Soru 3:

Denklemi Sağlayan Değeri Bulun:

\log_{1/2} \left(\frac{5}{64}\right) = x + 1

Çözüm:

  1. Logaritmanın temel özelliklerinden yararlanarak çözelim:

    \log_{1/2} \left(\frac{5}{64}\right), şu şekilde sadeleşir:

    • \frac{5}{64} = 2^{-6} \times 5^{-1} yani: =2^6 çarpanı barındırır

    Bu değer, 1/2 tabanında oldu çünkü:

    ( \frac{1}{2} )^6 = \frac{1}{64}

    Bu durumda şu işlemleri uygularız:

    x + 1 = - 6 \quad (\log_{1/2} \left(\frac{1}{64}\right)) - \log_{1/2}(5)

Burada bulunan değer: x= - 7

Soru 4:

Denklemin Çözüm Kümesini Bulun:

\frac{(x^2 - 4x + 4)(x^2 + 1)}{2x^2 + 3x + 2} \geq 0

Çözüm:

Öncelikle, pay ve paydanın köklerini (sıfır yaptığı değerler) bulmalıyız, ardından tablo yöntemiyle işaret incelemesi yaparak çözüm kümesini bulmalıyız.

  1. Üstteki ifadeyi çöz:

    • (x^2-4x+4)=(x-2)^2, çift katlı kök x = 2
    • x^2 + 1 reel kök yok.

  2. Alta bakın:

    • 2x^2 + 3x + 2 kökünü bulalım:

    Çift katlı kökü bulun:
    $$ \Delta = 3^2 - 4 \times 2 \cdot 2 = 9 - 16 = - 7$$
    Kök yok çünkü negatif, meyil beklenir.

  3. Bulunan bu kökleri tabloya yerleştirerek çözüm kümesini daha iyi inceleyebiliriz

  4. Sonuç:

    • \frac{(x-2)^2(x^2+1)}{2x^2+3x+2} \geq 0

Özet olarak, yukarıda yerine koyarak bulunan düzgünlük düzlemi belirlemek yeterli olacaktır.