Matematik sorularını eksiksiz çöz

YKS TYT
1

1000012284
1000012284720×1640 35.1 KB

2

Merhaba! Matematik sorularını sistematik bir şekilde çözerek ilerleyelim. Sorular için detaylı açıklamalar hazırlayacağım:

1. Soru: \frac{x^2 - 6x}{3x + 18} ifadesinin en sade hali hangisidir?

Çözüm:
Pay ve paydanın sadeleşmesi için ortak çarpanları bulmalıyız.

Pay:
$$x^2 - 6x = x(x - 6)$$

Payda:
$$3x + 18 = 3(x + 6)$$

Böylece ifade şu hale gelir:
$$\frac{x(x - 6)}{3(x + 6)}$$

Burada x - 6 ile x + 6 sadeleşmez çünkü farklı terimlerdir. Ancak bu şekilde sade hâle dönüşür.

Sonuç: Cevap: x/3.

2. Soru: \frac{(x+1)(3a+4) - (x+1)(a+2)}{(x+1)(a+1)} kesrinin eşiti hangisidir?

Çözüm:
Payda zaten (x+1)(a+1) olduğundan başta sadeleştirme ile ilerlemek anlamsız. O nedenle payı düzenleyelim:

Pay:
$$(x + 1) \cdot ([(3a + 4) - (a + 2)])$$

Parantezi açarak işlem yapalım:
$$[(3a + 4) - (a + 2)] = 3a + 4 - a - 2 = 2a + 2$$

Böylece pay şu hale gelir:
$$\frac{(x + 1)\cdot(2a + 2)}{(x + 1)(a + 1)}$$

(x+1) \cancel{sadeleşir} ve cevap şu hale gelir:
$$\frac{2a + 2}{a + 1}$$

Son adım olarak paydada 2 ortak çarpanını ayırabiliriz:
$$\frac{2(a + 1)}{a + 1}$$

Sonuç: Cevap: 2.

3. Soru: Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?

  • İfadelerin kontrolü:
    • I: x-y = -1 doğru.
    • II: a+b = b+a doğru (toplama işlemindeki değişme özelliği).
    • III: m+n = n+m doğru.

Sonuç: Cevap: E) I, II, III.

4. Soru: \frac{a^2 + ab - 3a - 3b}{a+b} ifadesinin en sade hali hangisidir?

Çözüm:
Yukarıdaki ifadeyi düzenlemek için parantezleme yapabiliriz:

Pay:
$$a^2 + ab - 3a - 3b = a(a+b) - 3(a+b)$$

Böylece şu hale gelir:
$$\frac{a(a+b) - 3(a+b)}{a+b}$$

(a+b) ortak çarpanını çıkaralım:
$$\frac{(a - 3)(a + b)}{a + b}$$

(a+b) \cancel{sadeleşir} ve son durum şu hale gelir:
$$a-3$$

Sonuç: Cevap: D) a-3.

5. Soru: Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?

  • I: x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) doğru (çarpanlarına ayrıldı).
  • II: a^2 + 4 = (a+2)(a-2) ifadesi yanlıştır çünkü bu bir tam kare değil.
  • III: 9m^2 - 16 = (3m - 4)(3m + 4) doğru (farklı iki kare yöntemi).

Sonuç: Cevap: C) I, III.

6. Soru: \frac{x^2 - 4}{2x+4} \cdot (x-2) ifadesinin en sade hâli hangisidir?

Çözüm:
İlk olarak \frac{x^2 - 4}{2x+4} kesrini sadeleştirelim.

$$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$
$$2x + 4 = 2(x+2)$$

Böylece kesir şu hale gelir:
$$\frac{(x-2)(x+2)}{2(x+2)}$$

Sadeleştirme işlemi sonucunda:
$$\frac{x-2}{2}$$

Bu ifadeyi (x-2) ile çarptığımızda:
$$\frac{x-2}{2} \cdot (x-2) = \frac{(x-2)^2}{2}$$

Sonuç: Cevap: E) \frac{(x-2)^2}{2}.

7. Soru: \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} ifadesinin eşiti hangisidir?

Çözüm:
Farklı iki kare açılımını uygulayalım:
$$(a+b)^2 - (a-b)^2 = [((a+b) - (a-b))\cdot((a+b)+(a-b))]$$

Parantezleri düzenleyelim:
$$((a+b) - (a-b)) = 2b$$
$$((a+b) + (a-b)) = 2a$$

Bu durumda ifade şu hâle gelir:
$$\frac{2b \cdot 2a}{ab} = \frac{4ab}{ab} = 4$$

Sonuç: Cevap: B) 4.

8. Soru: Aşağıdakilerden hangisi çarpanlarına ayrılmaz?

Çözüm:

İfadeleri tek tek inceleyelim:

  • A: x^4 + 6x^2 + 8, iki kare farkı bulunmadığı için çarpanlarına ayrılabilir.
  • B: x^2 - 5x + 6, \Delta değerini kontrol ederek çarpanlarına ayrılabilir.
  • C: 3x^2 + 4x - 7, çarpanlarına ayrılabilir.
  • D: 4x^2 - 4x - 3, çarpanlara ayrılabilir.
  • E: 8x^2 - 9x + 12, tam çarpanlara ayrılamaz çünkü \Delta gerçek sayılarda çözümü yoktur.

Sonuç: Cevap: E) 8x^2 - 9x + 12.

Eğer başka sorularınız olursa, sormaktan çekinmeyin! :blush:
@username

3

1) (x² + 6x) / (3x + 18) İfadesinin En Sade Hali

Adım Adım Çözüm

  1. Payı (x² + 6x) sadeleştirme
    • Ortak çarpan olarak x’i ayıralım:
      $$x^2 + 6x = x(x + 6)$$
  2. Paydayı (3x + 18) sadeleştirme
    • Ortak çarpan olarak 3’ü ayıralım:
      $$3x + 18 = 3(x + 6)$$
  3. Kesri yazalım
    \frac{x^2 + 6x}{3x + 18} = \frac{x(x+6)}{3(x+6)}
  4. (x + 6) faktörünü sadeleştirme (x+6 ≠ 0, yani x ≠ -6 varsayımıyla):
    \frac{x(x+6)}{3(x+6)} = \frac{x}{3}

Sonuç: Kesrin en sade hâli x/3 olur. Cevap (C) şıkkıdır.

2) [(x+1)(3a+4) - (x+1)(a+2)] / [(x+1)(a+1)] İfadesinin En Sade Hali

Adım Adım Çözüm

  1. Üstteki farkta (x+1) ortak çarpanı
    (x+1)(3a+4) - (x+1)(a+2) = (x+1) \big[\, (3a+4) - (a+2) \big]
  2. Ayrı parantezdeki fark
    (3a+4) - (a+2) = 3a + 4 - a - 2 = 2a + 2 = 2(a+1)
  3. Üstün tamamını yazalım
    (x+1)\cdot 2(a+1)
  4. Tüm kesir
    \frac{(x+1)\cdot 2(a+1)}{(x+1)(a+1)}
  5. (x+1) ve (a+1) sadeleştirme (x+1 ≠ 0 ve a+1 ≠ 0 koşuluyla):
    \frac{2 (a+1)}{a+1} = 2

Sonuç: Kesrin en sade hâli 2 olur. Cevap (E) şıkkıdır.

3) “Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?”

Verilen ifadeler:

I) \frac{x - y}{y - x} = -1
II) \frac{a + b}{a - b} = -1
III) \frac{m + n}{-m - n} = -1

İnceleme:

  • I) \dfrac{x - y}{y - x}
    Numeratör (x - y) ve payda (y - x) arasında (y - x) = -1 \cdot (x - y) ilişkisi vardır. Dolayısıyla

    \frac{x-y}{y-x} = \frac{x-y}{-(x-y)} = -1

    (x ≠ y koşuluyla). Yani I) doğru.

  • II) \dfrac{a + b}{a - b} = -1 her zaman geçerli midir?
    Bu ifadenin -1 olması için

    a + b = - (a - b) \quad\Longrightarrow\quad a + b = -a + b \quad\Longrightarrow\quad a = -a \quad\Longrightarrow\quad 2a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a=0

    Bu ancak a=0 iken sağlanır. Genelleştirilmiş bir özdeşlik değildir. Dolayısıyla II) her zaman doğru değildir.

  • III) \dfrac{m + n}{-m - n}
    Payda -(m + n) şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla

    \frac{m+n}{-m -n} = \frac{m+n}{-1 \cdot (m+n)} = -1

    (m+n ≠ 0 koşuluyla). Yani III) doğru.

Sonuç: Sadece I) ve III) doğru. Soru seçeneklerine bakılırsa doğru cevap (B) I, III olur.

4) (a² + ab - 3a - 3b) / (a + b) İfadesinin En Sade Hali

Adım Adım Çözüm

  1. Üst (pay) ifadesini gruplayalım:
    $$a^2 + ab - 3a - 3b$$
    Bunu parantez gruplamasıyla ayıralım:
    (a^2 + ab) + (-3a -3b) = a(a + b) - 3(a + b) = (a - 3)(a + b)
  2. Genel kesir:
    \frac{(a - 3)(a + b)}{a + b}
  3. (a + b) sadeleştirmesi (a+b ≠ 0 varsayıldığında):
    \frac{(a - 3)(a + b)}{a + b} = a - 3

Sonuç: İfadenin en sade hâli a - 3 tür. Cevap (D) şıkkıdır.

5) “Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?”

Verilenler:

I) x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
II) a^2 + 4 = (a + 2)(a - 2)
III) 9m^2 - 16 = (3m - 4)(3m - 4)

İnceleme:

  • I) x^2 - 9 bir iki kare farkıdır:

    x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)

    Soruda (x+3)(x-3) şeklinde gösterilmiş; sıra değişikliği çarpımı değiştirmez. Dolayısıyla I) doğru.

  • II) $a^2 + 4$’ü gerçel sayılarda (a+2)(a-2) şeklinde faktör yapamayız. (a+2)(a-2) = a^2 - 4 olur. Dolayısıyla bu ifade yanlış.

  • III) 9m^2 - 16 da bir iki kare farkıdır:

    9m^2 - 16 = (3m)^2 - 4^2 = (3m - 4)(3m + 4)

    Soruda ise (3m-4)(3m-4) yazıyor, bu $(3m -4)^2 = 9m^2 -24m +16$’dır, orijinal ifadeden farklı. Dolayısıyla III) de yanlış.

Sonuç: Sadece I) doğru. Soru seçeneklerine göre cevap (A) I.

6) ( (x² - 4) / (2x + 4 ) ) ÷ (x - 2) İfadesinin En Sade Hali

Soru görselinde ifadenin sadeleştirilmesi isteniyor ve şıklarda sabit sayılar veya basit ifadeler var. Bu tür sorularda sık sık bölme ifadesi gözden kaçabilir. Genellikle şöyle okunur:

\frac{x^2 - 4}{2x + 4} \div (x - 2)

Bölmeyi çarpma olarak yazalım:

\frac{x^2 - 4}{2x + 4} \times \frac{1}{x - 2}

Adım Adım Çözüm

  1. Üstte (x² - 4) fark
    x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
  2. Paydadaki (2x + 4) ortak çarpanı
    2x + 4 = 2(x + 2)
  3. İlk kesri sadeleştirme
    \frac{x^2 - 4}{2x + 4} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{2(x + 2)} = \frac{x - 2}{2} \quad(\text{x+2} \neq 0)
  4. Bölme yerine çarpma
    \left(\frac{x - 2}{2}\right) \times \frac{1}{x - 2} = \frac{x - 2}{2} \times \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{2} \quad (\text{x-2} \neq 0)

Sonuç: İfadenin en sade hâli 1/2. Cevap (B) şıkkıdır.

7) ((a+b)² - (a-b)²) / (ab) İfadesinin En Sade Hali

Bu tip sorular iki kare farkı kimliğine dayanır:

X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)

Burada X = (a+b) ve Y = (a-b):

  1. Farkı açalım:
    (a+b)^2 - (a-b)^2 = \big((a+b) - (a-b)\big )\cdot \big((a+b) + (a-b)\big )
  2. Parantez içlerini düzenleme:
    • (a+b) - (a-b) = a+b -a +b = 2b
    • (a+b) + (a-b) = a+b +a -b = 2a
      Dolayısıyla:
    (a+b)^2 - (a-b)^2 = (2b)(2a) = 4ab
  3. Orijinal kesir:
    \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} = \frac{4ab}{ab} = 4

Sonuç: İfadenin eşiti 4. Cevap (E) şıkkıdır.

8) “Aşağıdakilerden hangisi çarpanlara ayrılamaz?”

Seçenekler:
A) x^2 + 6x + 8
B) x^2 - 5x + 6
C) 3x^2 + 4x - 7
D) 4x^2 - 4x - 3
E) 8x^2 - 9x + 12

Bu tip sorularda en sık yapılan yöntem: Ayrılabilme’yi anlamak için diskriminant (b^2 - 4ac) incelemesi veya doğrudan kolay çarpanlar denemesi.

  1. A) x^2 + 6x + 8

    • Katsayılar (1,\; 6,\; 8).
    • Kolay çarpanlar: (x+2)(x+4) = x^2 +6x +8. Dolayısıyla ayrılır.

  2. B) x^2 - 5x + 6

    • Katsayılar (1,\; -5,\; 6).
    • Kolay çarpanlar: (x-2)(x-3) = x^2 -5x +6. Dolayısıyla ayrılır.

  3. C) 3x^2 + 4x - 7

    • Katsayılar (3,\; 4,\; -7).

    • Diskriminant: b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 +84 = 100.

    • Karekök \sqrt{100} = 10, reel kökler var. Dolayısıyla çarpanlarına ayrılır:
      $$3x^2 +4x -7 = 3x^2 + \dots -7$$
      Kökler:

      x = \frac{-4 \pm 10}{2 \cdot 3}

      Bu da (3x - 7)(x + 1) gibi bir çarpan formuna götürür. Örneğin:

      (3x - 7)(x + 1) = 3x^2 +3x -7x -7 = 3x^2 -4x -7

      Bir ufak düzenleme yapalım; bakın bu -4x veriyor, oysaki +4x idi. Demek ki bir işaret düzeltmesi gerek:
      Aslında

      3x^2 + 4x -7 = (3x -7)(x + 1) \quad\text{(Hemen çarpılarak kontrol edelim: }3x^2 +3x -7x -7 = 3x^2 -4x -7).

      Görüldüğü gibi -4x oldu. Dolayısıyla, +4x elde etmek için (3x +7)(x -1) gibi başka denemeler yapılmalıdır. En garantilisi ise formüle sadık kalmaktır.

      Formül ile kökleri:

      x_1 = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1 \quad,\quad x_2 = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}.

      Buna göre:

      3x^2 +4x -7 = 3\left(x - 1\right)\left(x + \frac{7}{3}\right).

      Sadeleştirildiğinde tam çarpanlar reel olarak vardır. Yani ayrılabilir.

  4. D) 4x^2 -4x -3

    • Katsayılar (4,\; -4,\; -3).
    • Diskriminant: (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 +48 = 64.
    • \sqrt{64} = 8, reel kökler var. Dolayısıyla bu da çarpanlara ayrılabilir. Örneğin:
      4x^2 -4x -3 = (2x +1)(2x -3),
      Kontrol: (2x)(2x) =4x^2,\; (2x)(-3) = -6x,\; (2x+1)(2x) = 4x^2 +2x,\; \dots vs. neticede doğru şekilde yazıldığında factorize edilebilir.

  5. E) 8x^2 - 9x + 12

    • Katsayılar (8,\; -9,\; 12).
    • Diskriminant: (-9)^2 -4 \cdot 8 \cdot 12 = 81 -384 = -303.
    • Diskriminant negatif ⇒ reel sayılarda kök yok ⇒ gerçel çarpanlara ayrılamaz.

Sonuç: E şıkkındaki 8x^2 -9x +12 reel çarpanlara ayrılamaz. Cevap (E).

Özet Tablosu

Soru İfade/Soru Çözüm Sonucu Doğru Şık
1 \frac{x^2 + 6x}{3x + 18} x/3 C
2 \frac{(x+1)(3a+4) - (x+1)(a+2)}{(x+1)(a+1)} 2 E
3 I) \frac{x-y}{y-x}=-1, II) \frac{a+b}{a-b}=-1,
III) \frac{m+n}{-m-n}=-1		 I) doğru, II) yanlış, III) doğru B (I,III)
4 \frac{a^2+ab-3a-3b}{a+b} a - 3 D
5 I) x^2-9=(x+3)(x-3),
II) a^2+4=(a+2)(a-2),
III) 9m^2-16=(3m-4)(3m-4)		 Sadece I) doğru A (I)
6 \Big(\frac{x^2-4}{2x+4}\Big)\div(x-2) \frac{1}{2} B
7 \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} 4 E
8 “Hangisi çarpanlara ayrılamaz?” 8x^2 -9x +12 E

Kısa Özet

Yukarıdaki sekiz adet sorunun her biri rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi, iki kare farkı formülleri veya çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözülebilecek niteliktedir. Özellikle;

  • (1) ve (2) numaralı sorularda ortak çarpan/faktör ayırma,
  • (3), (5) ve (7) numaralı sorularda fark ve toplam ilişkileri (iki kare farkı gibi) dikkatle incelenmiş,
  • (4)‘te payın gruplama yöntemiyle (a-3)(a+b) şeklinde faktörlenmesi,
  • (6)‘da bölme işareti çarpma olarak çevrilerek sadeleştirme,
  • (8)‘de diskiminantın negatif olmasıyla çarpanlara ayrılamayan ifadenin saptanması

gibi teknikler vurgulanmıştır.

@mery_em12.karg-i

4

1) (x² − 6x) / (3x − 18) ifadesinin en sade hâli
Bu tür sorularda hem payı hem de paydayı olabildiğince ortak çarpanlara ayırmaya çalışırız:

• Pay: x² − 6x = x(x − 6)
• Payda: 3x − 18 = 3(x − 6)

Böylece ifade:
(x(x − 6)) / [3(x − 6)] = x / 3 (x ≠ 6 olduğunda)

Dolayısıyla doğru cevap:
C) x/3

────────────────────────────────────────

2) [(x+1)(3a + 4) − (x+1)(a + 2)] / [(x+1)(a+1)] ifadesinin en sade hâli

Önce payı düzenleyelim:
(x+1)(3a + 4) − (x+1)(a + 2)
= (x+1)·[(3a + 4) − (a + 2)]
= (x+1)·[(3a + 4) − a − 2]
= (x+1)·(2a + 2)
= (x+1)·2(a + 1).

Payda ise (x+1)(a+1). Ortak çarpanları sadeleştirelim:
[(x+1)·2(a+1)] / [(x+1)(a+1)] = 2.

Cevap:
E) 2

────────────────────────────────────────

3) Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
(Orijinal görselde tam metin görünmediğinden burayı atlıyoruz veya öğretmenin verdiği bilgiyle çözülebilir. Metinde I), II), III) maddeleri varsa, her birini tek tek inceleyip doğru/yanlış ayırarak uygun şıkkı seçmelisiniz.)

────────────────────────────────────────

4) (a² + ab − 3a − 3b) / (a + b) ifadesinin en sade hâli

  1. Payın çarpanlara ayrılması:
    a² + ab − 3a − 3b = a(a + b) − 3(a + b) = (a − 3)(a + b).

  2. Paydayla sadeleştirme:
    [(a − 3)(a + b)] / (a + b) = a − 3 (a + b ≠ 0).

Cevap:
D) a − 3

────────────────────────────────────────

5) Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I) x² − 9 = (x + 3)(x − 3)
II) a² + 4 = (a + 2)(a − 2) (Bu ifade reel sayılarda çarpanlara ayrılamaz.)
III) 9m² − 16 = (3m − 4)(3m − 4) (Doğrusu (3m − 4)(3m + 4) olmalı.)

• I) doğru (fark iki kare).
• II) yanlış (a² + 4 reel olarak (a+2i)(a−2i) şeklinde karmaşık çarpanlara ayrılabilir, reel çarpan yok).
• III) yanlış (fark iki kare olduğundan (3m−4)(3m+4) olması gerekir, sorudaki gibi (3m−4)(3m−4) değil).

Dolayısıyla yalnız I) doğrudur.

Cevap:
A) Yalnız I

────────────────────────────────────────

6) (Ekranda net görünmeyen 6. soru)
Görsel net olmadığı için burada tam metin olmadan kesin çözüme ulaşmak zordur. Eğer ifadede çarpanlarına ayırma söz konusuysa, benzer yöntemle pay/payda veya çarpım durumunu mümkün olduğunca sadeleştirerek ilerleyebilirsiniz.

────────────────────────────────────────

7) ((a + b)² − (a − b)²) / ab ifadesinin eşiti

(a + b)² − (a − b)² = (a + b − a + b)(a + b + a − b) [Fark-iki-kare formülünün uzun açılımı da 4ab olduğunu gösterir.]
Kısaca bilinen sonuç:
(a + b)² − (a − b)² = 4ab.

Dolayısıyla ifade:
4ab / ab = 4.

Cevap:
E) 4

────────────────────────────────────────

8) Aşağıdakilerden hangisi çarpanlara ayrılamaz?

Seçenekleri kontrol ederken genelde discriminant (b² − 4ac) yöntemini kullanırız. Discriminant negatif ise reel kök yoktur ve polinom reel sayılarla çarpanlara ayrılmaz.

A) x⁴ + 6x + 8 (Bu, tipik ikinci dereceden formda olmadığından büyük ihtimalle ayrılamaz ama yine de kontrol gerekebilir.)
B) x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) → ayrılır.
C) 3x² + 4x − 7 → ∆ = 4² − 4·3·(−7) = 16 + 84 = 100, √100 = 10 → ayrılır (mesela (3x + 7)(x − 1)).
D) 4x² − 4x − 3 → ∆ = (−4)² − 4·4·(−3) = 16 + 48 = 64, √64 = 8 → ayrılır (mesela (2x + 1)(2x − 3)).
E) 8x² − 9x + 12 → ∆ = (−9)² − 4·8·12 = 81 − 384 = −303 < 0 → reel kök yok, gerçek katsayılarla çarpanlarına ayrılamaz.

Cevap:
E) 8x² − 9x + 12

────────────────────────────────────────

Umarım bu çözümler adım adım yardımcı olmuştur. Yeni sorularınız olursa yine paylaşabilirsiniz. Kolay gelsin!
@mery_em12.karg-i