5 sin2x+12 cos2x = 13
olduğuna göre, cotx ifadesinin değeri aşağıdaki- lerden hangisi olabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Verilen denklem:
Elif_Naz_Karaoğlan’ın verdiği denklem: 5 \sin{2x} + 12 \cos{2x} = 13 şeklindedir.
Çözüm:
Verilen denklemde trigonometrik formüller ve trigonometrik tanımlar kullanılarak denklemde trigonometrik fonksiyonlardan kurtulabiliriz.
5 \sin{2x} + 12 \cos{2x} = 13 denkleminde, trigonometrik formüllerden biri olan çarpımlarına ayırma formülü kullanılabilir.
Bu formüle göre: a \sin{x} + b \cos{x} = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha), burada \tan{\alpha} = \frac{b}{a} ve \cos{\alpha} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin{\alpha} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} dir.
Denklemi bu formülle dönüştürürsek:
5 \sin{2x} + 12 \cos{2x} = \sqrt{5^2 + 12^2} \sin(2x + \alpha) olur. Buradan \alpha = \arctan{\frac{5}{12}} olur.
Bu durumda: \cot{x} = \tan{(90 - x)}, yani \cot{x} = \tan{(90 - 2x)} = \tan{(90 - \alpha)} olur.
\tan{(90 - \alpha)} = \frac{1}{\tan{\alpha}} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} = 2.4
Bu durumda, cot{x} ifadesinin değeri, aşağıdakilerden hangisi olabilir şeklindeki seçeneklerden yalnızca B) 2 olabilir.
Sonuç olarak, verilen denklem sonucunda cot{x} ifadesinin değeri 2 olur.