Aşağıda bir tren istasyonunda asılı olan elektronik bir saat gösterilmiştir. Yeşil ışık 35 saniyede bir, kırmızı ışık 40 saniyede bir yanmaktadır. Şekildeki gibi saat 06:30’da yeşil ve kırmızı ışık aynı anda yandığına göre, bu iki ışık saat ve dakika tam olarak aynı olduğu ana kadar kaç kez daha birlikte yanar?
Cevap:
İlk olarak, yeşil ve kırmızı ışıkların birlikte yanma periyotlarını (sıkışmalarını) bulmamız gerekiyor. Yeşil ışık her 35 saniyede bir, kırmızı ışık ise her 40 saniyede bir yanıyor. Bu durumda, iki ışığın tekrar birlikte yanması, bu iki sürenin ortak katında gerçekleşir.
-
En Küçük Ortak Kat (EKOK) Hesaplama:
35 ve 40 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
35 = 5 \times 740 = 2^3 \times 5Bu sayılardaki her asal sayı için en yüksek kuvvetleri alarak EKOK’u hesaplıyoruz:
\text{EKOK}(35, 40) = 2^3 \times 5 \times 7 = 8 \times 5 \times 7 = 280 \text{ saniye}Böylece yeşil ve kırmızı ışıklar 280 saniyede bir birlikte yanar.
-
Toplam Süre Hesaplama:
1 saat 1 dakikadan, dakika ve saniye cinsinden toplam süreyi hesaplayalım:
1 \text{ saat} = 3600 \text{ saniye}1 \text{ dakika} = 60 \text{ saniye}Toplam \text{ süre} = 3600 \text{ saniye} + 60 \text{ saniye} = 3660 \text{ saniye} -
Birlikte Yanma İhtimaline Katkıda Bulunma:
Başlangıçta yeşil ve kırmızı ışık aynı anda yandığı için bu başlangıç durumu dikkate alınmaz. Bu nedenle, toplam süreyi bölerek birlikte kaç kez daha yanacaklarını buluruz:
\frac{3660 \text{ saniye}}{280 \text{ saniye}} = 13 \text{ tam sayı}Ancak, başlangıçta zaten bir kere birlikte yandıkları için 13 duruma 1 daha ekleyerek doğru sayıyı doğrulamalıyız. Bu çarpanın her durumu başlangıçta zaten bir kere birlikte yanması ile başlar ve 13 muayyen tamamlanır.
Sonuç:
Bu nedenle, yeşil ve kırmızı ışık saat ve dakika tam olarak aynı olduğu ana kadar \boxed{13} kez daha birlikte yanacaktır.