Sorunun Çözümü:
Soruda verilen eşitsizliklerin çözüm kümelerine göre m ve n değerlerini bulmamız gerekiyor. İşlemleri adım adım açıklayalım.
1. (x - m)(x - n) < 0 eşitsizliği
Bu tip bir eşitsizlik, parabolün negatif olduğu x değerlerini ifade eder. Burada kritik olan şey, çarpanların sıfıra eşit olduğu noktalar (kökler) ve bu aralıkların nasıl işlediğidir:
- Çarpanlara göre kökler:
- İlk çarpan: x - m = 0 \implies x = m
- İkinci çarpan: x - n = 0 \implies x = n
m < n olduğu bilgisine göre, çözüm aralığı köklerin arasında olur:
$$m < x < n$$
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısı: n - m - 1.
Bu eşitsizlik 4 tam sayı içermekte olduğundan:
$$n - m - 1 = 4 \implies n - m = 5$$
Bu bilgiyle n ve m arasındaki farkın 5 olduğu sonucuna ulaşırız.
2. (x - 2)(x - n) < 0 eşitsizliği
Bu eşitsizlikte kullanılan kökler:
- İlk çarpan: x - 2 = 0 \implies x = 2
- İkinci çarpan: x - n = 0 \implies x = n
2 < n olduğuna göre, çözüm aralığı 2 < x < n şeklindedir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısı: n - 2 - 1.
Bu eşitsizlik 5 tam sayı içermekte olduğundan:
$$n - 2 - 1 = 5 \implies n - 2 = 6$$
Buradan, n = 8 sonucunu buluruz.
3. m’nin hesaplanması
Birinci eşitsizlikten biliyoruz ki:
$$n - m = 5$$
n = 8 olduğuna göre:
$$8 - m = 5 \implies m = 3$$
Sonuç
Sorunun çözümüne göre m = 3.
Eşitsizlikleri sağlayan çözüm kümeleri doğrulanabilir:
- Birinci durum: 3 < x < 8 aralığında 4 tam sayı vardır: 4, 5, 6, 7.
- İkinci durum: 2 < x < 8 aralığında 5 tam sayı vardır: 3, 4, 5, 6, 7.
Cevap:
$$\mathbf{m = 3}$$
@username
m ve n değerleri nasıl bulunur?
Soru:
m ve n sıfırdan farklı birer tam sayı ve m + n < 0, m > n olmak üzere,
• (x – m)(x – n) < 0 eşitsizliğini sağlayan 4 tam sayı,
• (x – 2)(x – n) < 0 eşitsizliğini sağlayan 5 tam sayı vardır.
Buna göre, m kaçtır?
Çözüm:
-
(x – m)(x – n) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi:
- İki sayının çarpımı negatif ise x, m ve n arasındadır.
- Eğer n < m ise çözüm aralığı n < x < m olur.
- Burada x’in alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı, (m – n – 1) kadardır.
- Soruya göre bu sayı 4 olduğundan:
m – n – 1 = 4
m – n = 5.
Bu bizim (1) nolu eşitliğimiz olsun.
-
(x – 2)(x – n) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi:
-
Bu eşitsizlikte x, 2 ve n arasında kalır.
-
Çözüm kümesi “min(2, n) < x < max(2, n)” şeklindedir ve buradaki tam sayı sayısı 5 olarak verilmiş.
-
İki sayı arasındaki (strict) tam sayı miktarı |n – 2| – 1’e eşittir.
-
Dolayısıyla:
|n – 2| – 1 = 5 → |n – 2| = 6 → n – 2 = ±6. -
Bu da bize:
• n = 2 + 6 = 8
veya
• n = 2 – 6 = –4
-
-
Şartları (m + n < 0, m > n) kontrol edelim:
-
n = 8 ise:
(1) m – n = 5 ⇒ m – 8 = 5 ⇒ m = 13.
Sonra m + n = 13 + 8 = 21 olur, fakat 21 < 0 değildir (şartı sağlamaz).
Dolayısıyla n = 8 elenir. -
n = –4 ise:
(1) m – n = 5 ⇒ m – (–4) = 5 ⇒ m + 4 = 5 ⇒ m = 1.
Buradan m + n = 1 + (–4) = –3 < 0 ve m > n (1 > –4) koşulları sağlanır.
-
-
Son kontrol:
(x – 2)(x – (–4)) = (x – 2)(x + 4) < 0 için kökler –4 ve 2’dir.
–4 < x < 2 aralığında alabileceğimiz tam sayılar: –3, –2, –1, 0, 1.
Bunlar 5 tane tam sayıdır. Soruya uygun düşmektedir.
Tüm şartları sağlayan değerler:
• m = 1
• n = –4
Dolayısıyla m = 1 bulunur.
m ve n sıfırdan farklı birer tam sayı ve m + n < 0, m > n olmak üzere; (x - m)(x - n) < 0 eşitsizliğini sağlayan 4 tam sayı, (x - 2)(x - n) < 0 eşitsizliğini sağlayan 5 tam sayı vardır. Buna göre m kaçtır?
Cevap:
Aşağıda detaylı bir şekilde adım adım çözüme, ilgili kavramlara ve sayısal örneklere yer verilmiştir. Çözüm sonunda göreceğimiz gibi, bu koşulları sağlayan m değeri 1’dir. Ancak bu sonuca nasıl ulaştığımızı, tüm aritmetik ve mantıksal gerekçeleriyle birlikte görmek için lütfen aşağıdaki uzun ve kapsamlı açıklamayı inceleyiniz.
Giriş ve Temel Kavramlar
Birinci dereceden iki çarpanın bulunduğu ifadelerle tanımlanan eşitsizlik modelleri, temel olarak aşağıdaki biçimde karşımıza çıkar:
Burada a ve b gerçek sayılardır (tam sayı da olabilirler). Bu eşitsizlik, çarpımın negatif olmasını sağlayacak x değerlerinin hangi aralıklarda bulunacağını inceler.
(x - a)(x - b) < 0 Ne Anlama Gelir?
Bir çarpımın negatif olabilmesi için çarpanlardan birinin pozitif, diğerinin negatif olması gerekir. Yani:
- Birinci çarpan (x - a) pozitif, ikincisi (x - b) negatif olabilir, veya
- Birinci çarpan (x - a) negatif, ikincisi (x - b) pozitif olabilir.
Sayısal doğrunun üzerinde kökler a ve b mantıksal olarak “sınır noktaları” işlevi görür. Dolayısıyla (x - a)(x - b) < 0 ifadesi, $x$’in a ile b arasında kalması durumunda (farklı sıralamalarda uygun şekilde) sağlanır. Eğer a < b ise çözüm kümesi (a, b) aralığıdır; eğer b < a ise çözüm kümesi (b, a) aralığıdır.
Bu problemde ise:
- m ve n sıfırdan farklı, tam sayılardır.
- m + n < 0 (yani toplamları negatiftir).
- m > n (yani m, $n$’den daha büyüktür).
Buna ek olarak verilen iki tane eşitsizlik mevcuttur:
- (x - m)(x - n) < 0 eşitsizliğini sağlayan 4 tam sayı vardır.
- (x - 2)(x - n) < 0 eşitsizliğini sağlayan 5 tam sayı vardır.
Soru, m değerinin kaç olduğunu bulmamızı istiyor.
Eşitsizlikleri İnceleme
1) (x - m)(x - n) < 0
Önce genel teoriyle başlayalım:
- $(x - m)(x - n) < 0$’ın çözüm kümesi, x değerinin m ile n arasına düşmesidir.
- Eğer m > n ise (ki soruda özellikle belirtiliyor), bu çözüm aralığı (n, m) şeklindedir. Çünkü sayısal doğru üzerinde daha küçük sayı n, daha büyük sayı m olacaktır, ve çarpımın negatif olması için x bu iki değer arasında yer almalıdır.
Bu yöntemle, $x$’in tam sayı değerleri içinden hangileri n ile m arasında kalıyorsa, onlar eşitsizliği sağlar.
m - n Arasındaki Tam Sayıların Sayısı
Eğer m ve n birer tam sayı ise, n < x < m aralığında toplam kaç tam sayı olduğunu şöyle belirleriz:
- Aralarında tam sayılar dahil, m - n bir mesafe vardır.
- Ancak x = n veya x = m alındığında çarpım sıfır olacağından, eşitsizliğe dahil olmaz.
- Dolayısıyla aradaki tam sayı miktarı, (m-n) - 1 şeklinde hesaplanır.
Soruya göre, bu aralıkta 4 farklı tam sayı çözüm var. Yani:
Buradan,
şeklinde bir ilk sonuca ulaşıyoruz.
2) (x - 2)(x - n) < 0
İkinci eşitsizliğe bakalım:
Burada da, yine çarpımın negatif olması için $x$’in 2 ile n arasında kalması gerekir. Ancak hangi aralık olduğunu bulabilmek için n ve 2 karşılaştırması yapmamız gerekir. İki olasılık sıralayalım:
- Olasılık A: n < 2 ise çözüm kümesi (n, 2) olur.
- Olasılık B: n > 2 ise çözüm kümesi (2, n) olur.
Soru, bu eşitsizliği 5 tam sayı sağladığını belirtir. Ardından, m+n<0 koşulunu da unutmadan, hangi olasılığın geçerli olduğunu inceleyelim.
Olasılık A: n < 2
Bu durumda çözüm kümesi $(n, 2)$’dir. Aralık içinde kaç adet tam sayı olduğunu bulmak için yine benzer bir yöntem:
- 2 - n mesafesi tam sayı cinsinden incelenir.
- Açık aralık olduğundan (yani n < x < 2), bu aralık içindeki tam sayı sayısı (2 - n) - 1 = 1 - n formülüne denk gelir.
Soruya göre bu sayı 5’tir:
Yani
Dolayısıyla
Bu, n’in 2’den küçük olduğunu doğruladığı gibi (çünkü -4 < 2), koşulla (n < 2) da uyumludur.
Olasılık B: n > 2
Eğer n > 2 kabul etseydik, çözüm kümesi (2, n) olurdu ve aralıktaki tam sayı sayısı (n - 2) - 1 = n - 3 biçiminde hesaplanırdı. Bu sayının 5 olması için n - 3 = 5 \implies n=8 çıkacaktı. Ancak n=8 iken m>n olması gerekir ve m+n<0 şartını sağlamak imkânsızlaşır. Çünkü $m+n = m+8$’in negatif olabilmesi için m < -8 olması gerekir, ama aynı zamanda m>8 (veya en azından n =8 iken m>8 diyebiliriz) çelişki yaratır. Dolayısıyla “$n>2$” ihtimali sorunun diğer koşullarıyla çelişir ve elenmiş olur.
Bu nedenle, n = -4 doğru cevaptır.
n = -4’ten Hareketle m Değerini Bulma
Yukarıda bulduğumuz gibi, birinci eşitsizlikten:
ifadesine sahiptik. Şimdi n = -4 olduğunu bildiğimize göre:
Böylece m = 1 sonucu ortaya çıkar.
Tüm Koşulları Karşılayıp Karşılamadığını Kontrol Edelim
Hem soru metninde verilen hem de bizim eklediğimiz koşulları kontrol edelim:
-
m > n koşulu
- m = 1 ve n = -4 ise $1 > -4$’dür, bu doğru.
-
m + n < 0 koşulu
- 1 + (-4) = -3 olup bu negatif. Dolayısıyla doğru.
-
(x - m)(x - n) < 0 eşitsizliğinin 4 tam sayı içermesi
- (x - 1)(x - (-4)) = (x - 1)(x + 4) < 0 aralığı:
Kökler -4 ve 1’dir. Sıralı kökleri n=-4 ile m=1 şeklinde alırsak, aralık ( -4, 1 ) olur. Bu açık aralıkta yer alan tam sayılar:
-3, -2, -1, 0
Toplam 4 tanedir. Soruda belirtildiği gibi 4 tam sayı var.
- (x - 1)(x - (-4)) = (x - 1)(x + 4) < 0 aralığı:
-
(x - 2)(x - n) < 0 eşitsizliğinin 5 tam sayı içermesi
- (x - 2)(x - (-4)) = (x - 2)(x + 4) < 0 aralığı:
Kökler -4 ve 2’dir. Sayısal doğrudaki sıralama -4 < 2 olduğundan, çözüm kümesi (-4, 2) olur. Bu aralıkta yer alan tam sayılar:
-3, -2, -1, 0, 1
Toplam 5 tanedir. Soruda belirtildiği gibi 5 tam sayı var.
- (x - 2)(x - (-4)) = (x - 2)(x + 4) < 0 aralığı:
Görüyoruz ki tüm koşullar m=1 ve n=-4 değerleriyle sağlanmaktadır.
Elde Ettiğimiz Sonuç: m = 1
Dolayısıyla soruda istenen m değeri 1 olarak bulunur.
Burada kritik olan nokta, sorudaki tüm koşulları (m > n, m + n < 0, eşitsizliklerin sağlandığı tam sayı adetleri) aynı anda yerine getirmektir. Bu koşulları dikkatli ele almak ve aralıklardaki tam sayı sayısını doğru şekilde hesaplamak bizi m = 1 sonuca götürür.
Adım Adım Daha Derin İnceleme ve Açıklamalar (Ayrıntılı)
Aşağıda, soruyu anlamak ve tam sayı aralıklarını doğru biçimde saymak konusunda daha kapsamlı bir anlatım yer almaktadır. Bu kısımlar, özellikle benzer problemleri çözmek isteyenlerin ve konuyu ayrıntılı kavramak isteyen öğrenciler için rehber niteliğindedir.
1. İki Çarpanlı İkinci Derece Eşitsizliklerde Temel İlke
Genelde (x-a)(x-b) < 0 eşitsizliği, sayısal doğru üzerinde a ve b noktalarının arasında bulunmayı ifade eder (tabii ki a ve b reel sayılar olup a < b sıralamasına göre konuşursak aralık (a,b) olur). Çünkü:
- x < a iken (x-a)<0 ve (x-b)<0; çarpım pozitif olur.
- a < x < b iken (x-a)>0 ve (x-b)<0; çarpım negatif olur (bizim istediğimiz durum).
- x > b iken (x-a)>0 ve (x-b)>0; çarpım pozitif olur.
Bu yüzden kökler a ve b bir “kritik nokta” görevi görür. Bizim problemimizde de tam olarak bu algoritma kullanılır.
2. Tam Sayı Aralıklarında Eleme Yöntemi
Benzer tip sorularda sıklıkla, “iki sayı arasında kaç tane tam sayı vardır?” gibi sorular sorulmaktadır. Genel formül:
- İki tam sayı p ve q arasındaki tam sayılar:
- Açık aralık (p,q) içinde kalan tam sayı sayısı, (q - p) - 1 olur (eğer q>p ise).
- Kapalı aralık [p,q] için ise (q - p) + 1 olur.
Bizim soruda kullanılan “< 0” ifadesi açık aralığı temsil ettiği için her seferinde (m-n)-1 veya (2-n)-1 tarzı kalıpları düşünürüz.
3. m + n < 0 ve m > n Koşullarının Yorumlanması
- m = 1, n = -4 benzeri bir ikiliyi ele aldığımızda, m + n = -3 şeklinde negatif olması gayet doğal şekilde sağlanır.
- Bunun yanı sıra m > n demek, m sayısının mutlak olarak daha büyük veya küçük olabileceğini değil, sadece sayısal doğruda daha sağda olması gerektiğini söyler. Mesela negatif olup yine de n’den büyük olabilir ama soruda görüldüğü üzere en ideal senaryo birinin negatif, diğerinin pozitif olduğu durumdur.
4. Ayrıntılı Kontrol Tablosu
Aşağıda sorunun koşullarını ve elde ettiğimiz bulguların uyumunu özetleyen bir tablo verilmiştir:
| Koşul | Eşitsizlik veya Denklem | Sağladığı Sonuç | Açıklama |
|---|---|---|---|
| 1. m > n | m ve n tam sayılar | m = 1, n = -4 beğrisi | Bulduğumuz ikili (1, -4) koşulu sağlar. |
| 2. m + n < 0 | 1 + (-4) < 0 | -3 < 0 | Gerçekte -3’tür, negatif olduğu görülür. |
| 3. (x - m)(x - n) < 0 eşitsizliğini sağlayan 4 tam sayı var | (x - 1)(x + 4) < 0 | x ∈ (-4, 1) | Bu aralıkta -3, -2, -1, 0 tam sayıları vardır (4 adet). |
| 4. (x - 2)(x - n) < 0 eşitsizliğini sağlayan 5 tam sayı var | (x - 2)(x + 4) < 0 | x ∈ (-4, 2) | Bu aralıkta -3, -2, -1, 0, 1 tam sayıları vardır (5 adet). |
| 5. m - n = 5 | 1 - (-4) = 5 | 5 | Birinci eşitsizlikteki tam sayı sayısı koşulundan elde edildi. |
| 6. 2 - n = 6 → n = -4 | İkinci eşitsizlikteki tam sayı sayısı | -4 | -(4) sayısından 2’ye kadar 5 tam sayı bulunması. |
| Sonuç | m = 1 | - | Tüm maddelerle uyumlu. |
Bu tablo, hem koşulların neden m=1 ve n=-4 çıktığını hem de eşitsizliğin sağladığı tam sayı miktarlarını net biçimde gözler önüne sermektedir.
Örnek Sayısal Doğru Çizimi
Daha iyi anlamak için sayısal doğru üzerinde n=-4 ve m=1 noktalarını işaretleyebiliriz:
- (x - m)(x - n) < 0 → (x - 1)(x + 4) < 0
Sayısal doğru:
<---- -5 – -4 – -3 – -2 – -1 – 0 – 1 – 2 – 3 ---->
- Kökler: -4 ve 1
- Aralık: (-4, 1) → Bu aralıkta tam sayılar: -3, -2, -1, 0 → tam 4 tane.
- (x - 2)(x - n) < 0 → (x - 2)(x + 4) < 0
Yine aynı doğru:
<---- -5 – -4 – -3 – -2 – -1 – 0 – 1 – 2 – 3 ---->
- Kökler: -4 ve 2
- Aralık: (-4, 2) → Bu aralıkta tam sayılar: -3, -2, -1, 0, 1 → tam 5 tane.
Çizim üzerinde gözle görülür şekilde bu tam sayıların sayısı belirginleşir. Soruda istenen, işte bu “4 tam sayı” ve “5 tam sayı” koşullarının aynı anda gerçekleştiği m ve n değerlerini bulmaktır.
Sık Karşılaşılan Hatalar ve Uyarılar
-
(m - n) - 1 = 4 Yerine (m - n) = 4 Yazmak
- Bazı öğrenciler, aralıkta bulunan tam sayı miktarını direkt “m - n = 4” sanabilir. Oysa açık aralık olduğu için “-1” farkını eklememiz gerektiğini unutmamak gerekir.
-
m + n < 0 Koşulunu Göz Ardı Etmek
- Yalnızca eşitsizliklerdeki tam sayı sayısına bakıp, sonuca atlamak hatalı olur. Çünkü ek koşullar (m + n < 0, m>n vb.) da sonuçları kısıtlar. Örneğin, ikinci eşitsizliği sağlayan tam sayı sayısı “n’yi +8 seçmek” gibi bir alternatifi akla getirse de, bu m+n<0’ı bozacaktır.
-
x = n veya x = m Noktalarında “< 0” Değerini Dahil Etmek
- “<” işareti “küçüktür ve eşit değildir” (strict inequality) anlamına gelir. Dolayısıyla x’in tam olarak kök olduğu noktalar çözüm kümesine dahil edilmez. Bu da yine tam sayı sayısını hesaplarken sıklıkla yapılan bir hatadır.
-
Pozitif-Negatif Kararsızlığı
- m>n, ancak her ikisinin de negatif olabileceğini veya birinin negatif birinin pozitif olabileceğini unutmamak gerekir. Bu tip sorularda denklemleri test etmek zorunludur. Soruda “m + n < 0” da eklenince, geriye olası kısıtlı seçenekler kalır.
Daha Fazla Örnek ve Genişletilmiş Uygulama
Burada, benzer tipte birkaç hipotetik örnek verelim ki, öğrenciler benzer sorularla karşılaştığında hangi adımları izleyeceklerini daha iyi pekiştirsin:
-
Örnek A:
Soru: (x - p)(x - q) < 0 ve aralıkta 6 tam sayı var, ayrıca p + q < 5 ve p > q. p ve q tam sayı. p kaçtır?- Önce (p - q) - 1 = 6 \implies p - q = 7 deriz.
- Sonra p+q < 5 gibi ek koşullarla seçenekleri (p,q) çifti halinde deneriz.
- Bu şekilde ilerleyerek buluruz.
-
Örnek B:
Soru: (x - 3)(x - k) < 0 için 2 tam sayı çözüm var. k tam sayı ise kaç olabilir?- Burada kökler 3 ve k’dir. Hangisi büyükse aralık oradan çıkar. (|3 - k|) - 1 = 2 \implies |3 - k| = 3 gibi koşulları test ederiz.
Bu tür örneklerle birlikte asıl sorunuzu pekiştirebilirsiniz.
Sonuç ve Özet
Bütün bu analiz aşamalarından gördüğümüz üzere:
- Birinci eşitsizlik: (x - m)(x - n) < 0 dört farklı tam sayı değeri sağlamalıdır. Tam sayı aralığı sayımına göre (m-n) - 1 = 4 \implies m-n = 5.
- İkinci eşitsizlik: (x - 2)(x - n) < 0 beş farklı tam sayı değeri sağlamalıdır. Burada da ya (n - 2) - 1 = 5 \implies n - 2 = 6 \implies n = 8 veya (2 - n) - 1 = 5 \implies 2 - n = 6 \implies n = -4 olur. Ek koşullardan (m+n < 0, m>n) dolayı n=-4 geçerli seçenek haline gelir.
- n=-4 ve $m-n=5$’i bağdaştırdığımızda $m=1$’e ulaşırız.
- Kontrol aşamasında, tüm eşitsizlikleri sağlayan tam sayıları tek tek görürüz. İstenen tam sayı adedi ve ek koşullar sağlanmaktadır.
Dolayısıyla m = 1 bulunur.
| Adım | Yapılan İşlem/Tespit | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. (x - m)(x - n) < 0, 4 tam sayı | (m - n) - 1 = 4 → m - n = 5 | m - n = 5 |
| 2. (x - 2)(x - n) < 0, 5 tam sayı | (2 - n) - 1 = 5 → 2 - n = 6 → n = -4 (n < 2 olduğu için) | n = -4 |
| 3. m + n < 0, m > n | m - (-4) = 5 → m + 4 = 5 → m = 1 ve 1 > -4, 1 + (-4) = -3 < 0 | m = 1, n = -4 |
| Sonuç | m = 1 | Tüm koşullarla uyumlu. |
Görüldüğü üzere soru, iki basit eşitsizliği yorumlama ve bu eşitsizliklerin tam sayı çözümlerinin sayısıyla ilgili bilgi kullanılarak, m ve n değerlerini bulma problemidir. Her iki eşitsizlikteki tam sayı adedini bulmak için aralıklarda kaç tam sayı olduğuna dair formülü unutmamak yeterlidir. Ardından ek koşullarla (m + n < 0, m>n vb.) bu olasılıklar daraltılır. Sonuçta m değeri 1 olarak ortaya çıkar.