İkinci dereceden denklemler

YKS TYT
1

17428506185813144334718069249097
17428506185813144334718069249097720×540 22.7 KB

2

Problem:
Soruda verilen iki denklemin kökleri çarpımı, kökler toplamının 1 eksiği olacak şekilde pozitif ve gerçek sayıların özelliklerine göre m ve n değerlerini bulmamız ve bu köklere sahip ikinci derece denklemi yazmamız isteniyor.

Analiz ve Çözüm:

Birinci denklem:
$$mx^2 - 3mx + n = 0$$
Burada:

  • Kökler toplamı: T_1 = -\frac{-3m}{m} = 3
  • Kökler çarpımı: Ç_1 = \frac{n}{m}

İkinci denklem:
$$nx^2 - 2x + 3m = 0$$
Burada:

  • Kökler toplamı: T_2 = -\frac{-2}{n} = \frac{2}{n}
  • Kökler çarpımı: Ç_2 = \frac{3m}{n}

Şartları Uygulama

Soruda, kökler çarpımı köklerin toplamından bir eksik verilmiştir. Bu durumda:
Birinci Denklem için:
$$\frac{n}{m} = 3 - 1$$
$$\frac{n}{m} = 2$$
Buradan:
$$n = 2m$$

İkinci Denklem için:
$$\frac{3m}{n} = \frac{2}{n} - 1$$
$$\frac{3m}{n} = \frac{2 - n}{n}$$

Bu ifadeyi sadeleştirerek:
$$3m = 2 - n$$
n = 2m olduğu için:
$$3m = 2 - 2m$$
$$5m = 2$$
$$m = \frac{2}{5}$$

n Değerini Hesaplama

$$n = 2m = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem

Kökleri m ve n olan ikinci dereceden denklem:
Kökleri verilen ikinci derece denklemin genel formülü:
$$x^2 - (kökler\ toplamı) \cdot x + (kökler\ çarpımı) = 0$$

Burada:

  • Kökler toplamı: m + n = \frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}
  • Kökler çarpımı: m \cdot n = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{25}

Denklem:
$$x^2 - \frac{6}{5}x + \frac{8}{25} = 0$$

Tüm katsayıları 25 ile çarparak düzenlersek:
$$25x^2 - 30x + 8 = 0$$

Sonuç:

Kökleri m = \frac{2}{5} ve n = \frac{4}{5} olan ikinci derece denklem:
$$\boxed{25x^2 - 30x + 8 = 0}$$

@username

3

49. m ve n pozitif gerçel sayılar olmak üzere mx² − 3mx + n = 0 ve nx² − 2x + 3m = 0 denklemlerinin, her birinin kökler çarpımı “kökler toplamı – 1” eşitliğini sağlıyor. Buna göre, kökleri m ve n olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

Cevap:

Aşağıdaki adımları izleyerek denklemlerdeki ilişkileri adım adım çözeceğiz ve sonrasında m ve n değerlerini kullanarak istenen ikinci dereceden denklemi elde edeceğiz.

1. Birinci Denklem (mx² – 3mx + n = 0)

Bu denklem için:

  • Katsayılar:

    • a = m
    • b = –3m
    • c = n

  • Köklerin Toplamı (S1):
    İkinci dereceden denklemde kökler toplamı, -\frac{b}{a} formülüyle hesaplanır. Dolayısıyla:

    S_1 = -\frac{-3m}{m} = 3

  • Köklerin Çarpımı (P1):
    Köklerin çarpımı, \frac{c}{a} formülüyle bulunur. Bu denklemde:

    P_1 = \frac{n}{m}

Soruda verilen “kökler çarpımı = kökler toplamı – 1” ifadesine göre:

\frac{n}{m} = 3 - 1 = 2

Buradan:

n = 2m

2. İkinci Denklem (nx² − 2x + 3m = 0)

Bu denklem için:

  • Katsayılar:

    • a = n
    • b = –2
    • c = 3m

  • Köklerin Toplamı (S2):

    S_2 = -\frac{-2}{n} = \frac{2}{n}

  • Köklerin Çarpımı (P2):

    P_2 = \frac{3m}{n}

Yine “kökler çarpımı = kökler toplamı – 1” koşulunu uygulayarak:

\frac{3m}{n} = \frac{2}{n} - 1

Bunu n ile çarparsak:

3m = 2 - n
3m + n = 2

Birinci denklemden n = 2m bulmuştuk. Bunu yerine koyarsak:

3m + 2m = 2 \quad \Longrightarrow \quad 5m = 2 \quad \Longrightarrow \quad m = \frac{2}{5}
n = 2m = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}

Böylece m = 2/5 ve n = 4/5 elde edilir.

3. Kökleri m ve n Olan Denklem

Kökleri \alpha = m ve \beta = n olan bir ikinci dereceden denklemin genel formülü:

x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\,\beta = 0

Bu problemde \alpha = \frac{2}{5} ve \beta = \frac{4}{5} olduğundan:

  • Köklerin Toplamı:

    \alpha + \beta = \frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}

  • Köklerin Çarpımı:

    \alpha \, \beta = \left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{8}{25}

Dolayısıyla denklem:

x^2 - \left(\frac{6}{5}\right)x + \frac{8}{25} = 0

Tüm katsayıları tam sayı yapmak için 25 ile çarparak standarda uygun biçimde yazabiliriz:

25x^2 - 30x + 8 = 0

Böylece kökleri m ve n olan ikinci dereceden denklem,
25x² – 30x + 8 = 0
şeklindedir.

Özet ve Sonuç

  1. Birinci denklemden n = 2m ifadesi elde edildi.
  2. İkinci denklemden, 3m + n = 2 sonucu çıktı.
  3. Bu iki denklemi çözdüğümüzde m = \frac{2}{5} ve n = \frac{4}{5} bulundu.
  4. Kökleri m ve n olan denklem, x^2 - (m+n)x + mn = 0 formülüyle bulunarak
    $$25x^2 - 30x + 8 = 0$$
    elde edildi.

Çözüm Adımlarını Özetleyen Tablo

Adım İşlem veya Formül Sonuç/Elde Edilenler
1. Denklem (mx² − 3mx + n = 0) Kökler Toplamı: 3, Kökler Çarpımı: n/m n = 2m
2. Denklem (nx² − 2x + 3m = 0) Kökler Toplamı: 2/n, Kökler Çarpımı: 3m/n 3m + n = 2
3. Değer Bulma n = 2m ve 3m + n = 2 birlikte çözülür m = 2/5, n = 4/5
4. İstenen Denklem (Kökleri m, n) x^2 - (m+n)x + mn = 0 25x^2 - 30x + 8 = 0

Kaynaklar (Örnek):

  • Açık Kaynak Cebir Kitapları (OpenStax vb.)
  • MEB Lise Matematik Ders Kitapları

@Gulbahar_Kurca