Gerçekkk

YKS TYT
1

1000010080
10000100801600×1230 61.5 KB

2

Soruyu çözmek için doğru yöntemi izleyelim:

Verilenler ve çözüm:

1. Denklem:

x^2 + 5x - m = 0

Bu denklemin kökleri:

\{x_1, x_1-7\}
  • Kök toplamı formülü:
x_1 + (x_1 - 7) = -\frac{\text{b}}{\text{a}} = -\frac{5}{1} = -5

Bunu çözerek:

2x_1 - 7 = -5

Buradan:

2x_1 = 2 \implies x_1 = 1
  • Kök çarpımı formülü:
x_1 \cdot (x_1 - 7) = \frac{\text{c}}{\text{a}} = \frac{-m}{1} = -m
1 \cdot (1 - 7) = -m
1 \cdot (-6) = -m
m = 6

2. Denklem:

x^2 + mx - 16 = 0

Bu denklemin kökleri:

\{x_2, x_2 + n\}
  • Kök toplamı formülü:
x_2 + (x_2 + n) = -\frac{\text{b}}{\text{a}} = -\frac{m}{1} = -6

Bunu çözerek:

2x_2 + n = -6
  • Kök çarpımı formülü:
x_2 \cdot (x_2 + n) = \frac{\text{c}}{\text{a}} = \frac{-16}{1} = -16
x_2^2 + n \cdot x_2 = -16

Adım adım çözüm:

Bu iki denklem:

  1. 2x_2 + n = -6
  2. x_2^2 + n \cdot x_2 = -16

Birinci denklemden $n$’yi çözebiliriz:

n = -6 - 2x_2

Bunu ikinci denkleme yerleştiriyoruz:

x_2^2 + (-6 - 2x_2) \cdot x_2 = -16
x_2^2 - 6x_2 - 2x_2^2 = -16
-x_2^2 - 6x_2 = -16
x_2^2 + 6x_2 - 16 = 0

Bu denklemin köklerini bulmamız gerekiyor:
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:

(x_2 + 8)(x_2 - 2) = 0

Buradan:

x_2 = -8 \text{ veya } x_2 = 2

Sonuç:
x_2 = 2 olduğunda:

n = -6 - 2 \cdot 2 = -6 - 4 = -10

x_2 = -8 olduğunda:

n = -6 - 2 \cdot (-8) = -6 + 16 = 10

Doğru cevap: D) 10

Başka bir sorunuz varsa sormaktan çekinmeyin! :blush:
@username

3

m ve n gerçek sayılar olmak üzere;

  1. Birinci denklem:
x^2 + 5x - m = 0

Kökleri:

\{x_1,\; x_1 - 7\}

  • Köklerin toplamı (Viète bağıntılarına göre) (-b/a) değerine eşittir:
    $$x_1 + (x_1 - 7) = -\frac{5}{1} = -5$$
    $$2x_1 - 7 = -5 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$$

  • Köklerin çarpımı (c/a) değerine eşittir:
    $$x_1 \cdot (x_1 - 7) = -m$$
    $$1 \cdot (-6) = -m \implies -6 = -m \implies m = 6$$

Dolayısıyla birinci denklem,

x^2 + 5x - 6 = 0

haline gelir ve buradan (m=6) bulunur.

  1. İkinci denklem:
x^2 + mx - 16 = 0

Bulduğumuz (m=6) değerini yerine yazarsak:

x^2 + 6x - 16 = 0

Bu denklemin kökleri

\{x_2,\; x_2 + n\}

şeklinde verilmiştir.

  • Köklerin toplamı (-\frac{b}{a} = -6) olduğundan

    x_2 + (x_2 + n) = -6
    2x_2 + n = -6 \quad (1)

  • Köklerin çarpımı (\frac{c}{a} = -16) olduğundan

    x_2 \cdot (x_2 + n) = -16 \quad (2)

Öncelikle, denklem (x^2 + 6x -16 = 0) in köklerini bulalım. Diskriminant:

\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100
x_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2}

  • Birinci kök:

    x_2 = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2

    Bu durumda (2x_2 + n = -6 \implies 4 + n = -6 \implies n = -10). (Seçeneklerde yok.)

  • İkinci kök:

    x_2 = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8

    Bu durumda (2x_2 + n = -6 \implies 2(-8) + n = -6 \implies -16 + n = -6 \implies n = 10).

Seçenekler (A) 2, (B) 5, (C) 8, (D) 10, (E) 12 olduğuna göre uygun değer (n=10) çıkmaktadır.

Özet Tablo

Denklem Kök Seti Toplam (Viète) Çarpım (Viète) Parametre Değerleri
(x^2 + 5x - m = 0) ({x_1,; x_1 - 7}) (-5) (-m) (x_1=1 \implies m=6 )
(x^2 + 6x - 16 = 0) (2.denklem) ({x_2,; x_2+n}) (-6) (-16) (\Delta=100, ; x_2=-8 \implies n=10)

Bu durumda sorunun doğru yanıtı: 10
@Gg_12