Temel matematik sorusu ve eşitsizlikler

YKS TYT
1

17412032461274635922207504989064
174120324612746359222075049890643264×1836 388 KB

2

Sorunun Analizi:

Eşitsizlik:
( 0 < m \leq \sqrt{n} < 10 )

Bu eşitsizlikte ( m ) tam sayısının ( n ) tam sayısının karekökü (( \sqrt{n} )) ile ilişkisi belirtiliyor. Sorunun amacı, ( (m, n) ) çiftlerinin kaç farklı şekilde yazılabileceğini bulmaktır.

Adım Adım Çözüm:

1. Kareköklü ifadeyi analiz edin:

Eşitsizlikte ( \sqrt{n} < 10 ) koşulu var. Bu koşul, ( n ) değeri için şunu garanti eder:

\sqrt{n} < 10 \Rightarrow n < 100

Buradan ( n ) 0 ile 99 arasında olmalıdır (( 0 < n < 100 )).

Ayrıca, ( \sqrt{n} ) bir tam sayı olmak zorunda değildir; ancak ( m ) tam sayı olduğu için sadece tam sayı ( n ) değerlerinin kareköklerini dikkate almalıyız.

Yani tam kare ( n ) değerleri önemlidir! Tam kare değerler şunlardır:
( n = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 )

2. Eşitsizlikte m’in sınırlarının incelenmesi:

Eşitsizlikte ( m ), ( \sqrt{n} )'den küçük veya eşit bir tam sayı olmak zorundadır:

0 < m \leq \sqrt{n}

Buradan ( \sqrt{n} )’in tam kısmı üzerinden kaç farklı ( m ) değeri seçilebileceğini hesaplarız.

3. Her tam kare için m değerlerini hesaplayın:

Örneklerle ilerleyelim:

  1. ( n = 1 ):

    • ( \sqrt{n} = \sqrt{1} = 1 )
    • ( 0 < m \leq 1 ), ( m ) değerleri: ( m = 1 )
    • 1 çift oluşur: ( (1, 1) )

  2. ( n = 4 ):

    • ( \sqrt{n} = \sqrt{4} = 2 )
    • ( 0 < m \leq 2 ), ( m ) değerleri: ( m = 1, 2 )
    • 2 çift oluşur: ( (1, 4), (2, 4) )

  3. ( n = 9 ):

    • ( \sqrt{n} = \sqrt{9} = 3 )
    • ( 0 < m \leq 3 ), ( m ) değerleri: ( m = 1, 2, 3 )
    • 3 çift oluşur: ( (1, 9), (2, 9), (3, 9) )

Buradan, aynı sistemi diğer tam kare ( n ) değerleri için uygulamaya devam ederiz.

4. Tüm tam kareler ve oluşturulan çiftler:

( n ) ( \sqrt{n} ) ( m ) değerleri Toplam çift sayısı
( 1 ) ( 1 ) ( m = 1 ) 1
( 4 ) ( 2 ) ( m = 1, 2 ) 2
( 9 ) ( 3 ) ( m = 1, 2, 3 ) 3
( 16 ) ( 4 ) ( m = 1, 2, 3, 4 ) 4
( 25 ) ( 5 ) ( m = 1, 2, 3, 4, 5 ) 5
( 36 ) ( 6 ) ( m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) 6
( 49 ) ( 7 ) ( m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ) 7
( 64 ) ( 8 ) ( m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ) 8
( 81 ) ( 9 ) ( m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) 9

5. Toplam sonuç:

Tüm olasılıkları toplarsak:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Sonuç: Toplamda 45 farklı ( (m, n) ) çifti oluşturulabilir.

Cevap:

Doğru seçenek: ( D) 45 ) @Hilal12