Eşitsizliğin sağlayabileceği tam sayı değerleri nedir?
Cevap:
Verilen eşitsizlik:
Bu eşitsizlik her ( x ) gerçel sayısı için sağlandığı belirtilmiştir. Bu durumda paydanın köklerinin reel olmadığını ve derecesinin 2 olduğunu düşünmeliyiz. Bu nedenle ikinci dereceden ifadede diskriminantın negatif olması gerekmektedir.
-
Paydanın köklerini bulun:
[
x^2 - (a + 3)x + (3a + 1) = 0
]
Bu denklemin köklerinin reel olmaması için diskriminantının ((\Delta)) negatif olması gerekmektedir:
[
\Delta = b^2 - 4ac < 0
] -
Diskriminantı hesaplayın ve negatif yapın:
[
b = -(a + 3), , c = 3a + 1
]
[
\Delta = (a+3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a+1) < 0
]
[
(a+3)^2 - 4(3a+1) < 0
]
[
a^2 + 6a + 9 - 12a - 4 < 0
]
[
a^2 - 6a + 5 < 0
] -
Bu eşitsizliği çözün ve ( a )'yı bulun:
[
a^2 - 6a + 5 = 0
]
Denklem köklerini bulmak için:
[
a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}
]
[
a = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}
]
[
a = \frac{6 \pm 4}{2}
]
[
a_1 = 5, , a_2 = 1
]
( a^2 - 6a + 5 < 0 ) eşitsizliği 1 ile 5 arasındadır (açık aralık):
[
1 < a < 5
]Tam sayıların toplamını bulun:
Bu aralıkta ( a ) = 2, 3 ve 4 değerlerini alabilir.
[
2 + 3 + 4 = 9
]
Final Cevap:
a’nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı ( 9 )'dur, yani doğru cevap ( B ) şıkkıdır.