Soru: Eşitsizlik ile ilgili verilen problem nasıl çözülür?
Verilen Problem:
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan kaç tam sayı değeri vardır?
Çözüm:
Bu tür bir eşitsizliği çözmek için adım adım ilerleyeceğiz:
1. Kritik Noktaları Bulma
Verilen ifadeyi sıfıra eşitlersek, bu ifadenin sıfır olduğu noktaları buluruz. Yani, pay ve paydanın sıfır olduğu noktaları belirleriz:
-
Pay kısmı: (x - 3) \cdot (x - 5)^2 sıfır olduğunda:
[
x - 3 = 0 \quad \text{veya} \quad (x - 5)^2 = 0
]
Buradan kritik noktalar:
[
x = 3, , x = 5
] -
Payda kısmı: x - 7 = 0 olduğunda:
[
x = 7
]
Sonuçta kritik noktalarımız:
[
x = 3, , x = 5, , x = 7
]
2. İnterval (Aralık) Analizi
Bu kritik noktalar, ifadeyi sıfır ve tanımsız hale getiren noktalar olduğu için, eşitsizliği çözmek adına bu noktalar arasında işaret incelemesi yapmalıyız. Kritik noktalar:
[
3, , 5, , 7
]
Bu noktalar x eksenini 4 farklı bölgeye böler:
- (-\infty, 3)
- (3, 5)
- (5, 7)
- (7, \infty)
Not: x = 7'de ifade tanımsız olduğu için, bu nokta çözüm kümemize dahil edilmez.
3. İşaret Tabloları
Her bir intervalde ifade pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu belirlemek için her bir çarpana bakarız:
Çarpanlar:
- $(x - 3)$
- ((x - 5)^2) (Bu çarpanın her zaman pozitif olduğunu unutmayın.)
- ((x - 7))
Her bir aralığa giren x değerlerini bu çarpanlara yerleştirerek işaretlerini inceleriz:
| Aralık | x - 3 | (x - 5)^2 | x - 7 | Sonuç (İfade) |
|---|---|---|---|---|
| (-\infty, 3) | - | + | - | + |
| (3, 5) | + | + | - | - |
| (5, 7) | + | + | + | + |
| (7, \infty) | + | + | + | + |
4. Çözüm Kümesi
Soruda > 0 olduğu bölgeler soruluyor. Bu ifadeyi sağlayan bölgeler aşağıdaki aralıklardır:
- (-\infty, 3)
- (5, 7)
- (7, \infty)
Not: x = 3'te ve x = 7'de ifade sıfır (ve x=7'de tanımsız) olduğu için bu noktalar çözümde yer almaz.
5. Tamsayıları Belirleme
Yukarıdaki aralıkları inceleyerek, her bir bölgedeki tam sayı değerlerini buluruz:
- (-\infty, 3): Buradaki tam sayılar \dots, -2, -1, 0, 1, 2 ve toplamda 5 adet tam sayı vardır.
- (5, 7): Buradaki tam sayılar 6 ve toplamda 1 adet tam sayı vardır.
- (7, \infty): Buradaki tam sayılar 8, 9, 10, \dots devam eder. Buradan çözüm için sonsuz adet tam sayı vardır.
Toplamda: Yukarı bulunan sonsuz çözüm vardır