Eşitsizliğin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Eşitsizliği çözmek için adım adım ilerleyelim:
Verilen eşitsizlik:
\frac{x - 2}{x + 1} \geq \frac{x + 2}{x - 1}
İlk olarak eşitsizliği aynı paydada topluyoruz:
\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{x + 2}{x - 1} \geq 0
Bunu tek bir kesir haline getirelim:
\frac{(x - 2)(x - 1) - (x + 2)(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} \geq 0
Pay kısmını genişletelim:
(x - 2)(x - 1) = x^2 - 3x + 2
(x + 2)(x + 1) = x^2 + 3x + 2
Eşitsizliği sadeleştirelim:
\frac{x^2 - 3x + 2 - x^2 - 3x - 2}{(x + 1)(x - 1)} \geq 0
\frac{-6x}{(x + 1)(x - 1)} \geq 0
Bu noktada, paydaki -6x sayısını -6 ile çarpalım ve eşitsizliği değiştirelim:
\frac{6x}{(x + 1)(x - 1)} \leq 0
Bu denklemde kök noktalarını belirleyelim:
- x = 0
- x = -1
- x = 1
Bu noktalarda tablonun işaret değişimlerine bakalım. x ekseni üzerindeki işaret değişimlerini göz önünde bulundurarak:
- (-\infty, -1) aralığında ifadenin işareti +
- (-1, 0) aralığında ifadenin işareti -
- (0, 1) aralığında ifadenin işareti -
- (1, \infty) aralığında ifadenin işareti +
Buradan sonuca bakalım:
- Eşitsizlik \leq 0 olduğuna göre, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralıkları almalıyız.
- Dolayısıyla aralık: (-\infty, -1) \cup (0, 1)
Bu durumda:
Cevap:
E) (-\infty, -1) \cup [0, 1)
Bu adımlar doğrultusunda, eşitsizliğin en geniş çözüm aralığı belirtilmiştir.