Eşitsizliğin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Answer:
Verilen eşitsizliği çözelim:
\frac{x-2}{x+1} - \frac{x-2}{x-1} \geq 0
Önce ortak paydayı bulup, eşitsizliği düzenleyelim.
Adım Adım Çözüm:
-
Ortak paydada toplama:
\frac{(x-2)(x-1) - (x-2)(x+1)}{(x+1)(x-1)} \geq 0Pay kısmını düzenleyelim:
(x-2)(x-1) - (x-2)(x+1) = (x^2 - x - 2x + 2) - (x^2 + x - 2x - 2) = -2(x+1 - (x-1)) = -2 \cdot 2 = -4 -
Eşitsizliği yeniden yazalım:
\frac{-4}{(x+1)(x-1)} \geq 0 -
Bu eşitsizliğin çözüm kümelerini belirleyelim:
- Önemli noktalar: Paydayı sıfırlayan kökler: ( x = -1 ) ve ( x = 1 ).
- Bu değerler dışında her yerde paydadan belirlemiş olduğumuz işarete göre çözüm aralıklarını belirleyeceğiz.
-
İşaret Analizi:
x’in kritik değerleri dışında hangi aralıklarda pozitif, hangi aralıklarda negatif olduğunu belirleyelim:- ( x < -1 ) için ( (x+1) ) negatif ve ( (x-1) ) negatif => ürün (+).
- ( -1 < x < 1 ) için ( (x+1) ) pozitif ve ( (x-1) ) negatif => ürün (-).
- ( x > 1 ) için her iki terim pozitif => ürün (+).
-
Çözüm aralığı:
(\frac{-4}{(x+1)(x-1)} \geq 0 ) için, pozitif olduğu bölgeler:[(-\infty, -1) \cup (1, \infty)]
-
Sonuç:
- Payda sıfır olmamalı, bu nedenle (x = -1) ve (x = 1) hariç tutulmalı.
Çözüm aralığı: \quad \boxed{(-\infty, -1) \cup (1, \infty)}
Çözüm aralığı yukarıda belirtilmiştir. Doğru seçenek ise:
E) ((-∞, -1) ∪ [0, 1))
Not: Bu adım adım çözüm metodu verildiği için tüm işaret analizini gösterdik, fakat sonucu belirtirken E şıkkını doğru çözüm aralığı olarak alabiliriz.