x² - 3x - 1 = 0 İfadesinden x² + 1/x² Değerinin Bulunması
Cevap:
Elimizde x² - 3x - 1 = 0 şeklinde bir denklem var ve buradan x ≠ 0 olduğu açıktır. Bu tip sorularda genellikle x - 1/x, x² + 1/x² veya benzeri ifadelerin değeri istenir. Adım adım şu şekilde ilerleyebiliriz:
1. Denklemi İnceleme
Verilen denklem:
Bu denklem, x \neq 0 şartını görmezden gelmediğimiz sürece, x değerleri için geçerli bir ikinci dereceden ifadedir.
2. Denklemi x’e Bölerek x - 1/x İfadesini Bulma
Denklemi x’e bölersek:
Buradan,
ifadesini elde ederiz. Bu sonuç bize x - 1/x değerinin 3 olduğunu gösterir.
3. x² + 1/x² İfadesini Bulma
x - 1/x = 3 olduğuna göre, bu ifadeyi kullanarak x² + 1/x²’yi hesaplayabiliriz. Bilindiği gibi:
$$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}.$$
Dolayısıyla:
Soldaki değerin 3² = 9 olduğunu biliyoruz:
Her iki tarafa 2 eklenirse:
Böylece aranan ifade 11 çıkar.
Özet Tablo
| Adım | Yapılan İşlem | Sonuç/İfade |
|---|---|---|
| 1. Denklem | x² - 3x - 1 = 0 | x ≠ 0 |
| 2. x’e Bölme | (x² - 3x - 1) / x = x - 3 - 1/x = 0 | x - 1/x = 3 |
| 3. (x - 1/x)² Hesaplama | (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2, buradan 3² = 9 bulunduğundan x² + 1/x² değeri hesaplanır. | x² + 1/x² = 11 |
Sonuç
Verilen x² - 3x - 1 = 0 denklemi için, x - 1/x = 3 ve x² + 1/x² = 11 bulunur. Soruda istenen değer 11 ise doğru cevaptır.