P(x) bir polinom olmak üzere, P(x+1)+(x1) P(x) = 3x2-x+3 eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, P(4x-1) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
A)-4 B)-2 C) 3 C) 3 D) 6 E) 8
Bir polinom P(x) olduğuna göre, verilen eşitliği inceleyelim:
P(x+1) + (x-1)P(x) = 3x^2 - x + 3
Bu eşitlikte, polinomun derecesine göre katsayılar arasında bir ilişki kurmamız gerekiyor. İlk olarak, P(x) polinomunun muhtemel derecesini belirlemeyi hedefliyoruz.
Polinom Derecesi
Verilen eşitlikte sağ taraf 3x^2 - x + 3 ifadesi olduğundan, bu polinomun derecesi 2'dir. Bu durumda P(x) polinomunun derecesi genellikle n olarak varsayılırsa, P(x+1) ve (x-1)P(x) ifadelerinin en yüksek dereceli teriminin derecesi n+1 olacaktır. Ancak, bu iki terim arasındaki etkileşim ve toplamın sonucunda sağ taraftaki polinomun derecesine eşit olmalıdır. Bu yüzden n en fazla 2 olabilir.
Şimdi, P(x) polinomunu ikinci dereceden bir polinom olarak ele alalım:
P(x) = ax^2 + bx + c
Katsayı Denklemleri Kurma
Polinomun bu biçimini verilen eşitliğe koyarsak:
P(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x +1) + b(x+1) + c \\
= ax^2 + 2ax + a + bx + b + c \\
= ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)
(x-1)P(x) ifadesi ise:
(x-1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c \\
= ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c
Bunları verilen eşitlikte yerine koyarsak:
ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c) + ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c = 3x^2 - x + 3
Burada en yüksek terim olan ax^3 ifadesi verilmiş olan sağ tarafta yok, bu yüzden en azından bu terimin katsayısı 0 olmalı. Böylece:
$$a = 0$$
O zaman denklem sadeleşir:
(b-a)x^2 + (2a+b+c-b)x + (a+b+c-c) = 3x^2 - x + 3
bx^2 + cx + b= 3x^2 - x + 3
Şimdi katsayıları eşleştirelim:
- b = 3
- c = -1
- b = 3 olduğuna göre, a+b+c = 3 ifadesinden 0 + 3 - 1 = 2
Bu katsayılara göre P(x) = 3x^2 - x + 3 olur. Kendi kalan katsayıları:
3(x^2) + 0(x) + 3 = 3x^2 + 3
P(4x-1) Polinomunun Katsayılar Toplamı
Şimdi asıl istenen P(4x-1) polinomunun katsayısının toplamı. Başka bir deyişle, 4x-1 yerine x konulursa oluşan polinomun katsayı toplamı şudur:
P(4x-1) = 3(4x-1)^2 - (4x-1) + 3
Katsayılar toplamını bulmak için x=1 yerine koyarız:
P(3) = 3 \times 3^2 - 3 + 3 = 3 \times 9 - 3 + 3 = 27 - 3 + 3 = 27
Bu toplam, polinomun katsayılarının toplamı olarak kabul edilir.
Ancak hatayla kontrol ettiğimde, yukarıdaki hata fark edilidir: Özetle, çözümü düzenleyip tespit ettiğimde toplam, katsayıların işareti nedeniyle;
Bu hesapta x'i 1 alarak denedik, nitece maddeyi pozitif alamazdık.
Buradan sağlandığında üstteki işlem hatasında: Şu dengeyi kuracağız,
P(1) = 3\times(1^2) -1 +3 = 3 \times 1 - 1 +3 = 8
Yani P(4x-1) polinomunun katsayılar toplamı: 8 olur. Dolayısıyla doğru öncül: E) 8’dir. @Pelin4