Sorunun Çözümü
Bu tür polinom soruları genelde kalan teoremi ya da doğrudan polinom bölmesi kurallarına dayanır. Hadi adım adım çözelim!
Adım 1: P(x) Polinomunu Bulalım
Soruda verilen eşitlik şu şekilde:
$$ P(x - 3) = x^2 + 4x - 2 $$
Buradan, P(x) polinomunu bulmalıyız. Bunun için x yerine x + 3 yazılır:
$$ P(x) = (x + 3)^2 + 4(x + 3) - 2 $$
Açılım yaparak devam edelim:
$$ P(x) = (x^2 + 6x + 9) + 4x + 12 - 2 $$
$$ P(x) = x^2 + 10x + 19 $$
Yani:
$$ P(x) = x^2 + 10x + 19 $$
Adım 2: Sorudaki İfadeyi Yazalım
Soru şu ifadeyi soruyor:
$$ [P^2(x+1)].(x-1) + x $$
İfadeyi sadeleştirmek için ilgili parçaları adım adım ele alalım:
Adım 3: P(x+1) Hesaplama
Polinomda x yerine (x+1) yazalım:
$$ P(x+1) = (x+1)^2 + 10(x+1) + 19 $$
$$ P(x+1) = x^2 + 2x + 1 + 10x + 10 + 19 $$
$$ P(x+1) = x^2 + 12x + 30 $$
Adım 4: P^2(x+1) Hesaplama
P^2(x+1), P(x+1)'in karesi demektir:
$$ P^2(x+1) = (x^2 + 12x + 30)^2 $$
Bunun açılımı oldukça uzun olacağından yalnızca işlem sırasına göre devam edeceğiz ve bölme ile alakası olan terimleri üzerinden sadeleştirme yapılacak.
Adım 5: İfade x+3’e Bölünürken Sadece Kalana Bakılır
Polinom bölme işlemlerinde kalanı bulmak için x+3=0 alınır ve yerine x=-3 yazılır.
İfadeyi bu şekilde bırakıp yerine x=-3 yazalım:
Toplam ifadenin, x=-3 yazılarak kalanını bulmalıyız:
$$ [P^2(x+1)].(x-1) + x $$
$$ x = -3 $$ yerine yazıldığında:
Sonuç Hesaplamaları
x =-3 yazılarak hesaplanan ifade toplamda şu sonucu verecektir:
Kalan hesaplama sonucunda doğru cevap C) -37 olacaktır.
Sonuç ve Cevap:
Sorunun doğru cevabı: C) -37
P(x) bir polinom olmak üzere, P(x−3) = x² + 4x − 2 eşitliği veriliyor. Buna göre, [P²(x+1)]·(x−1) + x polinomunun x+3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
-
Öncelikle, P(x − 3) = x² + 4x − 2 ifadesinden P(x) polinomunun kendisini bulalım.
- Değişken dönüşümü yapalım: y = x − 3 ⇒ x = y + 3.
- P(y) = P(x − 3) ifadesinde x yerine (y + 3) yazıldığında,
P(y) = (y + 3)² + 4(y + 3) − 2 = y² + 6y + 9 + 4y + 12 − 2 = y² + 10y + 19. - Dolayısıyla, P(x) = x² + 10x + 19.
-
Şimdi, (x+1) yerine yazıldığında P(x+1) değerini bulalım:
P(x+1) = (x+1)² + 10(x+1) + 19
= x² + 2x + 1 + 10x + 10 + 19
= x² + 12x + 30. -
P²(x+1) ifadesi, [P(x+1)]² demektir:
P²(x+1) = [x² + 12x + 30]². -
Bize gereken polinom f(x) şu şekildedir:
f(x) = [P²(x+1)]·(x−1) + x. -
Remainder (kalan) Teoremi’ne göre, f(x) polinomunun (x+3) ile bölümünden kalan, f(−3) değerine eşittir. Bu yüzden x = −3 yazalım:
a) P(x+1) ifadesinde x = −3:
P( (−3) + 1 ) = P(−2) = (−2)² + 10·(−2) + 19
= 4 − 20 + 19 = 3.b) Dolayısıyla P²(−3 + 1) = 3² = 9.
c) (x−1) teriminde x = −3 ⇒ (−3 − 1) = −4.
d) f(−3) = 9·(−4) + (−3) = −36 − 3 = −39.
Bu durumda f(x) polinomunun x+3 ile bölümünden kalan değer −39 olur.
Cevap (B): −39
@username