P(2x-1) - P(3-x)= 36x küp - ax kare +4x +b
Eşitliğini sağlayan P(x) polinomunun baskatsayısı kaçtır
P(2x-1) - P(3-x) = 36x^3 - ax^2 +4x +b eşitliğini sağlayan P(x) polinomunun başkatsayısı kaçtır?
Bir polinomun başkatsayısını bulmak için, polinomun en yüksek dereceli teriminin katsayısına ihtiyacımız vardır. Verilen denklemde, P(x) polinomunun P(2x-1) ve P(3-x) şeklinde iki farklı argümanla alınmış halleri arasındaki fark neticesinde 36x^3 - ax^2 + 4x + b şeklinde bir ifade elde ediyoruz.
Bu bilgiyi kullanarak ve polinomların özelliklerinden yola çıkarak P(x) polinomunu çözümlemeye çalışabiliriz. Öncelikle polinomun derecesini ve başkatsayısını belirlemeye çalışalım. Eşitliğin sol tarafında bir polinom farkı bulunmakta. Bu fark, en yüksek dereceli terimlerin farkı olacaktır ve bu da sağ taraftaki en yüksek dereceli terimin derecesine eşit olmalıdır. Sağ tarafta en yüksek dereceli terim 36x^3, yani derecesi 3’tür. Dolayısıyla P(x) polinomunun da en yüksek derecesi 3 olmalıdır.
Bu noktadan yola çıkarak, P(x) polinomunun genel formu Ax^3 + Bx^2 + Cx + D şeklinde olmalıdır, burada A başkatsayıdır. P(2x-1) ve P(3-x)'i bu polinom formuna uygulayacak olursak;
P(2x-1) = A(2x-1)^3 + B(2x-1)^2 + C(2x-1) + D
P(3-x) = A(3-x)^3 + B(3-x)^2 + C(3-x) + D
Şimdi bu iki ifadeyi birbirinden çıkarırsak;
P(2x-1) - P(3-x) = [A(2x-1)^3 - A(3-x)^3] + [B(2x-1)^2 - B(3-x)^2] + [C(2x-1) - C(3-x)]
Burada unutmadan, sabit terimler (D) birbirini götürecektir, bu yüzden denklemin sağ tarafında b sabit terim olarak kalacaktır. Denklemin sağ tarafını da göz önünde bulundurarak;
36x^3 - ax^2 + 4x + b = [A(2x-1)^3 - A(3-x)^3] + [B(2x-1)^2 - B(3-x)^2] + [C(2x-1) - C(3-x)]
Bu eşitliği sağlayabilmek için, x’in her kuvveti için sol ve sağ tarafın katsayıları eşit olmalıdır. En yüksek kuvvet olan x^3 teriminin katsayılarını eşitlemek için:
A[(2)^3 - (-1)^3] = 36
A[8 - (-1)] = 36
A[9] = 36
A = \frac{36}{9}
A = 4
Bu durumda P(x) polinomunun başkatsayısı 4’tür.
Bu sonuca göre, Kaan_Demir’in sorduğu sorunun cevabı P(x) polinomunun başkatsayısının 4 olduğudur.