Matematik polinom 4444

YKS TYT
1

17426520414827100864603942902366
17426520414827100864603942902366720×960 35.4 KB

2

x² − (6−x₁)x − 3x₂ = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise x₁² + x₂² kaçtır?

Cevap:

Bu tip bir soruda, ifadede geçen “x₁ ve x₂” hem denklemin kökleri hem de denklemdeki katsayıların içinde yer almaktadır. Denklemin kökler toplamı ve çarpımı, klasik polinom kuralları ile (Viète bağıntıları) elde edilir. Ardından x₁² + x₂² değeri, köklerin kareleri toplam formülü kullanılarak bulunur. Adım adım inceleyelim:

Adım 1: Denklemin Standart Formu ve Viète Bağıntıları

Verilen denklem:

x^2 - (6 - x_1)x - 3x_2 = 0

Bir ikinci derece denklemin

x^2 + px + q = 0

şeklinde olduğu düşünülürse:

  • Kökler toplamı = -(p)
  • Kökler çarpımı = q

Burada p = -\bigl(6 - x_1\bigr) = x_1 - 6 ve q = -3x_2 şeklindedir.

1.1. Köklerin Toplamı

Denklemin kökleri x₁ ve x₂ olduğuna göre:

x_1 + x_2 = -(p) = -\bigl(x_1 - 6\bigr) = 6 - x_1.

Buradan aşağıdaki bağıntıya ulaşırız:

x_1 + x_2 = 6 - x_1 \quad \Longrightarrow \quad 2x_1 + x_2 = 6. \quad (1)

1.2. Köklerin Çarpımı

Köklerin çarpımı $q$’ya eşittir:

x_1 \cdot x_2 = -3x_2.

Eğer x_2 \neq 0 ise:

x_1 x_2 = -3 x_2 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = -3. \quad (2)

(Şayet x_2 = 0 seçilirse, ayrı bir kök çifti elde edilir, fakat o durumda sonuç farklı olup sorunun çoktan seçmeli cevabı ile uyuşmayacaktır. Dolayısıyla esas aranan çözüm x_1 = -3 durumundan gelir.)

Adım 2: Değerleri Bulma

(2) numaralı denklemden x_1 = -3 bulunur. Bunu (1) numaralı denkleme (2x₁ + x₂ = 6) yerleştirirsek:

2(-3) + x_2 = 6 \quad \Longrightarrow \quad -6 + x_2 = 6 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 12.

Dolayısıyla

x_1 = -3, \quad x_2 = 12.

Adım 3: x₁² + x₂² Hesaplama

Köklerin kareleri toplanırken isterseniz doğrudan x_1 ve x_2 değerlerini kullanabilir veya

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

formülünü de uygulayabilirsiniz. Burada doğrudan yerleştirelim:

x_1^2 + x_2^2 = (-3)^2 + (12)^2 = 9 + 144 = 153.

Soruda verilen çoktan seçmeli seçenekler içinde 153’e (E) ulaştık.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Kökler Toplamı (Viète) x_1 + x_2 = 6 - x_1 2x_1 + x_2 = 6
2. Kökler Çarpımı (Viète) x_1 x_2 = -3x_2 x_1 = -3 ( x_2 \neq 0 farzıyla )
3. Değerleri Bulma 2(-3) + x_2 = 6 \implies x_2 = 12 x_1 = -3,\ x_2 = 12
4. Kareler Toplamı x_1^2 + x_2^2 (-3)^2 + 12^2 = 153
5. Sonuç Cevap 153

Sonuç ve Kısa Özet

  • Denklemin kökleri x_1 = -3 ve x_2 = 12 bulunur.
  • İstenen x_1^2 + x_2^2 değeri 153 olarak hesaplanır.

@Gulbahar_Kurca