Polinom çalış

YKS TYT
1

17428724281916124081266024518625
17428724281916124081266024518625720×540 23.3 KB

2

Soru:

P(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan 7, x + 3 ile bölümünden kalan -3 tür. Buna göre, P(x) polinomunun x² + x - 6 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm Adımları:

Bir polinomun farklı bölücüler için kalanı bulunurken, kullanılacak ana yöntem Çin Kalan Teoremi (CRT) veya sistematik bir eşitlik çözümüdür. Bu soruda verilen bölme kalanı bilgileriyle doğru seçeneği bulabiliriz.

1. Verilenler:

  • P(2) = 7 çünkü polinom x - 2 ile bölündüğünde kalan 7’dir.
  • P(-3) = -3 çünkü polinom x + 3 ile bölündüğünde kalan -3’tür.

İstenilen ifade: P(x) polinomunun x² + x - 6 ile bölümünden kalan.

2. Polinomun Genel Formu:

Bir polinomun bölümüne göre kalan genellikle o bölücünün derecesinden bir derece daha düşük bir polinom şeklindedir. Bu nedenle, polinom x² + x - 6 ile bölündüğünde kalan şu formda olacaktır:

R(x) = ax + b

Burada a ve b bilinmeyenlerdir. Kalanı bulmamız için verilen noktaları yerine koyarak sistem oluşturacağız.

3. Bölme Kalanı Bilgisini Kullanalım:

(a) x - 2 için kalan (P(2)):

Polinomda x = 2 yerine koyarsak:

R(2) = a(2) + b = 7

Buradan:

2a + b = 7

(b) x + 3 için kalan (P(-3)):

Polinomda x = -3 yerine koyarsak:

R(-3) = a(-3) + b = -3

Buradan:

-3a + b = -3

4. İki Eşitliği Çözelim:

Elde edilen iki eşitlik:

  1. 2a + b = 7
  2. -3a + b = -3

Bu iki denklemi çözmek için b’yi yok ederiz. İkinci denklemi birinci ile taraf tarafa çıkaralım:

(2a + b) - (-3a + b) = 7 - (-3)
2a + b + 3a - b = 10
5a = 10 \implies a = 2

Bulduğumuz a’yı herhangi bir denkleme yerine koyarak b’yi bulalım. İlk denklemden:

2(2) + b = 7
4 + b = 7 \implies b = 3

5. Bulunan Kalan:

Kalan polinom:

R(x) = 2x + 3

Sonuç:

Bu durumda doğru cevap C) 2x + 3 olacaktır.

Cevap: C) 2x + 3

@username

3

P(x) polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan 7, x + 3 ile bölümünden kalan -3 ise, x² + x - 6 ile bölümünden kalan nedir?

Cevap:

Bu tür sorularda, verilen iki farklı lineer (birinci dereceden) çarpana göre kalanları bilince, o çarpanların çarpımına (yani burada (x - 2)(x + 3) = x² + x - 6) göre kalanı bulmak amacıyla R(x) gibi bir polinom varsayılır. Bu polinomun derecesi, bölen polinom (x² + x - 6) derecesinden küçük (yani en fazla birinci dereceden) olmalıdır:

R(x) = ax + b.

Aşağıdaki adımları takip ederek bulabiliriz:

1. Kalan Teoremi Hatırlatma

  • Bir polinom P(x), (x - r) ile bölündüğünde kalanın değeri P(r)'dir.
  • Soruda:
    • P(x), (x - 2) ile bölündüğünde kalan 7, yani P(2) = 7.
    • P(x), (x + 3) ile bölündüğünde kalan -3, yani P(-3) = -3.

2. Kalan Polinomunun Denklemi

x^2 + x - 6 çarpanlarına ayrıldığında (x - 2)(x + 3) elde edilir. Bu nedenle bölme sonucu kalanı
$$R(x) = ax + b$$
şeklinde düşünürüz. Çünkü bölen polinom ikinci derecedir, kalan birinci dereceden (veya sabit) olacaktır.

3. Bilinen Kalan Değerleriyle Denklemin Çözümü

  1. P(2) = R(2) = 7 ⇒ 2a + b = 7
  2. P(-3) = R(-3) = -3 ⇒ -3a + b = -3

Bu iki denklemi çözelim:

  • Birinci denklem: 2a + b = 7 \implies b = 7 - 2a
  • İkinci denklem: -3a + b = -3 ifadesine b = 7 - 2a yerine koyarsak:
    -3a + (7 - 2a) = -3
    -5a + 7 = -3
    -5a = -10 \implies a = 2
    b = 7 - 2 \cdot 2 = 3

Dolayısıyla
$$R(x) = 2x + 3.$$

4. Sonuç

P(x) polinomunun x^2 + x - 6 ile bölümünden kalan, 2x + 3 şeklindedir.

Özet Tablo

Verilen Bilgiler İşlem Sonuç
P(2) = 7 R(2) = 2a + b = 7 2a + b = 7
P(-3) = -3 R(-3) = -3a + b = -3 -3a + b = -3
\therefore R(x) = ax + b Denklem sistemi çözülür a=2,\ b=3 \implies R(x)=2x+3
Kalan Polinomun Derecesi < 2 olmalıdır
Nihai Kalan 2x + 3

Kısa Özet:

  1. Kalan teoremi kullanılarak P(2) = 7 ve P(-3) = -3 bilgileri elde edildi.
  2. x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3) olduğundan, R(x)=ax+b ile R(2)=7 ve R(-3)=-3 koşulları sağlandı.
  3. Çözümler a=2, b=3 bulundu, sonuçta R(x) = 2x + 3 elde edildi.

@Gulbahar_Kurca