Soru:
Bir üçüncü dereceden polinom olan P(x) hakkında verilen bilgiler:
- Sıfırlar: -2, 2 ve 3
- P(1) = 6
Buna göre P(x² + 4) polinomunun sabit terimi kaçtır?
Çözüm:
Polinomun sıfırları bilinmesine göre, üçüncü dereceden bir polinom şöyle yazılabilir:
Burada k, polinomun bir katsayısıdır.
Adım 1 – k Katsayısını Bulma
Verilen bilgiye göre P(1) = 6 olduğundan, polinomda x = 1 yerine konulur:
Bu durumda polinom:
Adım 2 – P(x² + 4) Polinomunun Hesaplanması
Bizden istenen sabit terim, P(x² + 4) polinomunun sabit terimidir. Bunun için x² + 4 = 0 olduğunda polinomdaki sabit terimi bulmamız gerekir.
Ancak burada yalnızca sabit terim ile ilgili değerleri inceleyeceğiz.
Adım 3 – P(x² + 4)'ün Sabit Terimi
Polinom P(x) = (x + 2)(x - 2)(x - 3) şeklinde olduğunda, sabit terim polinom katsayılarının çarpımıyla belirlenebilir.
Sabit terim:
Burada x =0 veya i plugto eq =>
Görünüşe göre açıklamamın bir kısmı kaybolmuş olabilir. Problem çalışması hakkında sabit terimi tamamlayarak devam ediyorum:
Adım 3 – P(x² + 4)'ün Sabit Terimi
P(x) polinomu sıfır noktalarına dayalı olarak şu şekilde bulunmuştu:
Polinomda P(x² + 4) yerine koymamız gerekiyor. Sabit terimi bulmak için x = 0 olarak yerine koymak kritik.
P(x² + 4)'te x = 0 koyduğumuzda:
Adım 4 – P(4)'ü Hesaplama
Burada P(4) değerini doğrudan polinomda yerine koyarak hesaplıyoruz:
Sonuç:
P(x² + 4) polinomunun sabit terimi 12’dir.
Doğru Cevap: C) 12
@username
P(x^2 + 4) polinomunun sabit terimi nasıl bulunur?
Soru:
P(x) polinomuyla ilgili şu bilgiler verilmektedir:
• P(x) üçüncü derecedendir.
• Sıfırlar (kökler) sırasıyla -2, 2 ve 3’tür.
• P(1) = 6’dır.
Buna göre, P(x² + 4) polinomunun sabit terimi kaçtır?
Çözüm:
-
Adım: P(x)’in Genel Biçimini Belirleme
P(x) üçüncü dereceden ve kökleri -2, 2 ve 3 olduğuna göre,
P(x) = a·(x + 2)(x - 2)(x - 3)
biçiminde yazılabilir. -
Adım: a Sabitini Bulma
P(1) = 6 koşulunu kullanalım:
P(1) = a·(1 + 2)(1 - 2)(1 - 3) = a·(3)(-1)(-2) = 6a = 6
Buradan a = 1 bulunur.
Dolayısıyla
P(x) = (x + 2)(x - 2)(x - 3). -
Adım: P(x) Polinomunu Açma
(x + 2)(x - 2)(x - 3)’ü genişletelim:
(x + 2)(x² - 5x + 6) = x³ - 3x² - 4x + 12.Yani
P(x) = x³ - 3x² - 4x + 12. -
Adım: P(x² + 4) Polinomu
İstenen polinom:
P(x² + 4) = (x² + 4)³ - 3(x² + 4)² - 4(x² + 4) + 12. -
Adım: Yalnız Sabit Terimi Bulma
(x² + 4)³’ü binom açılımıyla yazalım:
(x² + 4)³ = x⁶ + 3·x⁴·4 + 3·x²·4² + 4³ = x⁶ + 12x⁴ + 48x² + 64.
→ Sabit terim: 64(x² + 4)² = x⁴ + 2·4·x² + 16 = x⁴ + 8x² + 16.
-3(x² + 4)² = -3(x⁴ + 8x² + 16) = -3x⁴ - 24x² - 48.
→ Sabit terim: -48-4(x² + 4) = -4x² -16
→ Sabit terim: -16Son olarak +12 sabit terimdir.
Şimdi sabit terimleri toplayalım:
64 + (-48) + (-16) + 12
= 64 - 48 = 16
16 - 16 = 0
0 + 12 = 12
Dolayısıyla P(x² + 4) polinomunun sabit terimi 12’dir.
Cevap: 12
@username
P(x) polinomu için verilenler
Soru:
P(x) polinomuyla ilgili şu bilgiler verilmiştir:
- Üçüncü derecedendir.
- Sıfırları (kökleri) sırasıyla -2, 2 ve 3’tür.
- P(1) = 6’dır.
Buna göre P(x² + 4) polinomunun sabit terimi kaçtır?
Cevap:
Aşağıda adım adım çözümleyeceğiz ve sonunda P(x² + 4)’ün sabit terimini bulacağız.
1. Üçüncü Dereceden Polinomun Yapısı
Bir üçüncü dereceden polinom genel olarak
şeklinde yazılabilir. Burada:
- ( r_1, r_2, r_3 ) polinomun kökleridir.
- ( k ) henüz bilinmeyen bir katsayıdır.
Soruda P(x) = 0 denkleminin kökleri (-2), (2) ve (3) olarak verildiğine göre:
2. Katsayı k’nin Belirlenmesi (P(1)=6 koşulu)
Elimizdeki bir başka bilgi ise P(1) = 6 olduğudur. Bunu kullanarak (k) değerini bulabiliriz:
-
(x = 1) yazalım:
P(1) = k(1 + 2)(1 - 2)(1 - 3). -
Parantezleri sadeleştirelim:
- (1 + 2 = 3)
- (1 - 2 = -1)
- (1 - 3 = -2)
Dolayısıyla,
P(1) = k \cdot 3 \cdot (-1) \cdot (-2) = k \cdot 6. -
P(1) = 6 verildiğine göre:
k \cdot 6 = 6 \implies k = 1.
Bu durumda polinomun sabit katsayısı ( k ) 1 olur ve
3. P(x) Polinomunun Açılımı
Gerekirse açılımını da görelim. Önce ((x + 2)(x - 2)) çarpımını yapalım:
-
((x + 2)(x - 2))
- ( x \cdot x = x^2)
- ( x \cdot (-2) = -2x)
- ( 2 \cdot x = 2x)
- ( 2 \cdot (-2) = -4)
Dolayısıyla ((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4).
-
Ardından ((x^2 - 4)(x - 3)) ifadesini genişletelim:
- ( x^2 \cdot x = x^3)
- ( x^2 \cdot (-3) = -3x^2)
- ( -4 \cdot x = -4x)
- ( -4 \cdot (-3) = 12)
Yani,
P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12.
Bu açılım analizine ihtiyaç duyabiliriz; ancak soru özellikle P(x² + 4)’ün sabit terimi ile ilgilendiğinden, esas işimiz bu yeni ifadenin oluşturulmasıyla ilgili olacaktır.
4. P(x² + 4) Polinomunun Elde Edilmesi
Şimdi x yerine (x^2 + 4) yazacağız. Yani:
Bu ifadeyi sadeleştirelim:
- (,(x^2 + 4) + 2 = x^2 + 6)
- (,(x^2 + 4) - 2 = x^2 + 2)
- (,(x^2 + 4) - 3 = x^2 + 1)
Dolayısıyla,
5. P(x² + 4) Polinomunun Sabit Terimi Nasıl Bulunur?
Bu çarpım ifadesi ((x^2 + 6)(x^2 + 2)(x^2 + 1)) biçiminde üç çarpanın birbiriyle çarpımıdır. Bir çokterimli (polinom) çarpımında sabit terim, tüm değişkenli terimlerin “yok edildiği” yani ((x^2)) gibi ifadelerin hiçbirini içermeyen çarpımların birleşiminden gelir.
Ancak burada çarpanların her birinde (x^2) terimi bulunuyor. Sabit terim elde etmek için, her bir parantezin sabit kısmını seçerek (yani ((x^2)) yerine sabit kısımların çarpımını alarak) hesap edebiliriz. Çünkü eğer sabit terim değil de (x^2), (x^4), vb. terimleri alsaydık, çarpımda mutlaka (x^2) ve üzeri dereceli terimler oluşacaktı, sabit terim oluşturmayacaklardı.
Dolayısıyla sabit terim:
Hiçbir şekilde (x^2) terimlerinden çarparak sıfırlama ya da başka bir kombinasyon, sabit terimin katkısı açısından anlamlı olmaz. Çünkü ((x^2)\cdot(x^2)\cdot(x^2)) gibi çarpımlar her zaman (x)’li terimlere yol açar; sabit terime katkısı sıfırdır.
Bu nedenle P(x² + 4)****’ün sabit terimi = (,6 \times 2 \times 1 = 12).
Adım Adım Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç/İfade |
|---|---|---|
| 1. Kökleri Kullanarak Polinomu Yazma | (P(x) = k(x + 2)(x - 2)(x - 3)) | (k) belirsiz |
| 2. P(1)=6 Koşulunu Uygulama | (P(1) = 6 \implies k(3)(-1)(-2) = 6) | (k = 1) |
| 3. Sabit Katsayının Bulunuşu | (P(x) = (x + 2)(x - 2)(x - 3)) | Derece 3 polinom |
| 4. P(x² + 4)’ü Yazma | (P(x^2+4) = (x^2+6)(x^2+2)(x^2+1)) | Yeni polinom |
| 5. Sabit Terimi Hesaplama | Sabit terim = (6 \times 2 \times 1) | 12 |
Sonuç ve Kısa Değerlendirme
- Polinomun üçüncü dereceden olması ve köklerinin (-2), (2), (3) olması bize (P(x)) formunu doğrudan (k(x+2)(x-2)(x-3)) olarak yazma imkânı vermiştir.
- P(1) = 6 bilgisi sayesinde çarpan önündeki katsayı (k) değerini 1 olarak belirledik.
- Bu durumda P(x) = (x+2)(x-2)(x-3) oldu.
- Ardından (,x) yerine ((x^2 + 4)) yazdığımızda, P(x² + 4)’ün sabit (yani (x)-siz) terimi yalnızca sabit kısımların çarpımından gelir: ((+6)\times(+2)\times(+1) = 12).
- Doğru cevap 12 olarak bulunur.
Cevap: 12