3. Sorunun Analizi
Önerme: “Bir gerçek sayının karesi, her zaman kendisinden büyüktür.”
Bu önermenin doğru olup olmadığını örneklerle inceleyelim:
- Örnek 1: a = 2 \implies a^2 = 4. \Rightarrow a^2 > a.
- Örnek 2: a = 0.5 \implies a^2 = 0.25. \Rightarrow a^2 < a.
- Örnek 3: a = -1 \implies a^2 = 1. \Rightarrow a^2 > a.
- Örnek 4: a = 0 \implies a^2 = 0. \Rightarrow a^2 = a.
Bu örneklerden görüldüğü gibi, sayı 0 ile 1 arasında olduğunda önerme yanlış olur. a \geq 1 veya a \leq -1 için önerme doğrudur.
4. Sorunun Çözümü
İfade: (2 + 1) \cdot (2^2 + 1) \cdot (2^4 + 1) \cdot (2^8 + 1) = 4^x - 1
-
Hesaplayalım:
$$ (2+1) = 3 $$
$$ (2^2 + 1) = 5 $$
$$ (2^4 + 1) = 17 $$
$$ (2^8 + 1) = 257 $$ -
Çarp: 3 \times 5 \times 17 \times 257
Bu çarpım, 4^4 - 1 olduğuna göre, x = 4 çıkar.
5. Sorunun Çözümü
İfade: (x + y + 2)^2 - (x - y - 2)^2
İki kare farkı formülü: (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)
-
a = (x + y + 2) ve b = (x - y - 2)
-
a - b = (x + y + 2) - (x - y - 2) = 2y + 4
-
a + b = (x + y + 2) + (x - y - 2) = 2x
Sonuç: (2y + 4)(2x) = 4xy + 8x
6. Sorunun Çözümü
a) İfade: (2x + y)^2
Bu bir iki terim polinomunun karesi:
- (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Burada a = 2x ve b = y olduğuna göre:
- (2x)^2 = 4x^2
- 2(2x)(y) = 4xy
- y^2
Hepsi birlikte: 4x^2 + 4xy + y^2.