Görseldeki matematik sorularını ele alalım:
3. Bir gerçek sayının karesi, her zaman kendisinden büyüktür. Önerme Doğru mu?
Önermeyi inceleyelim:
- Pozitif Sayılar İçin: x > 1 ise x^2 > x doğrudur çünkü karesini almak sayıyı büyütür.
- 0 ve 1: x = 0 veya x = 1 için, x^2 = x, yani önerme yanlış.
- Negatif Sayılar İçin: x < 0 için, örneğin x = -2; (-2)^2 = 4, ki bu -2'den büyüktür.
Önerme sadece x > 1 ve x < 0 koşullarında doğrudur. x = 0 ve x = 1 durumlarında geçerli değildir.
4. İfade: (2+1) \cdot (2^2+1) \cdot (2^4+1) \cdot (2^8+1) = 4^x - 1
Bu ifadede her terimi değerlendirelim:
- (2+1) = 3
- (2^2+1) = 5
- (2^4+1) = 17
- (2^8+1) = 257
Bu ifadelerin çarpımı:
$$ 3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 = 65535 $$
Sağ tarafta 4^x - 1 = 65535 olduğunu gördüğümüzde:
$$ 4^x = 65536 $$
65536, 4^{8}'dir, bu yüzden x = 8.
5. İfade: (x+y+2)^2 - (x-y-2)^2
Farklılıkları açarak basitleştirelim:
- (x+y+2)^2 = x^2 + 2xy + 4x + y^2 + 4y + 4
- (x-y-2)^2 = x^2 - 2xy - 4x + y^2 - 4y + 4
Bu ifadeleri çıkaralım:
$$(x+y+2)^2 - (x-y-2)^2 = (x^2 + 2xy + 4x + y^2 + 4y + 4) - (x^2 - 2xy - 4x + y^2 - 4y + 4)$$
Bu hesaplamayı yaparsak:
$$4xy + 8x + 8y$$
6. a) İfadeyi Özdeşliğe Çevirin: (2x+y)^2
Özdeşliği açalım:
$$(2x+y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(y) + y^2$$
$$= 4x^2 + 4xy + y^2$$
Soruları bu şekilde basitleştirip çözerek ilerleyebilirsiniz. Başka bir yardım gerekirse sorabilirsiniz!