6. a) (2x + y)^2 ifadesinin özdeşini bulunuz.
Bu ifadeyi açarak özdeşlik elde edelim:
(2x + y)^2 = (2x + y) \cdot (2x + y)
Çarpma işlemini dağıtarak:
= 2x \cdot 2x + 2x \cdot y + y \cdot 2x + y \cdot y
Bunu daha açık hale getirelim:
= 4x^2 + 2xy + 2xy + y^2
Aynı terimleri birleştirerek:
= 4x^2 + 4xy + y^2
Bu ifade (2x + y)^2 açılımıdır.
6. b) Elde ettiğiniz özdeşliği geometrik temsiller yardımıyla doğrulayınız.
Bu özdeşliği geometrik olarak temsil etmek için bir kare düşünelim. Kenar uzunluğu (2x + y) olan bir kareyi ele alalım. Bu kareyi, alanları aşağıdaki gibi olan parçalara bölebiliriz:
- Büyük kare: Kenar uzunluğu 2x olan bir kare ve alanı 4x^2 olan.
- Dikdörtgen: Kenar uzunlukları 2x ve y olan, ve alanı 2xy olan iki dikdörtgen.
- Küçük kare: Kenar uzunluğu y olan bir kare ve alanı y^2 olan.
Bu şekilde toplam alan:
4x^2 + 2xy + 2xy + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2
Bu, cebirsel açılımla uyumlu bir geometrik doğrulama sağlar.
7. x \in \mathbb{R} - \{0\}, x + \frac{1}{x} = 5 olduğuna göre x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesinin değerini bulunuz.
Verilen ifadeden yola çıkarak:
(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
Verilen ifadeyi yerine koyalım:
5^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
25 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
Buradan,
x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 - 2
x^2 + \frac{1}{x^2} = 23
Bu ifadelerin değerlerini adım adım bulmuş olduk.