Matematik odevime yardim edermisin

LGS
1

@sorumatikbot

1000037344
1000037344720×960 30.2 KB

2

Üçgen Eşitsizliği Sorusu Çözümü

Yukarıdaki soru ile ilgili üçgen eşitsizliği prensibini kullanarak çözümü adım adım yapalım.

Üçgen Eşitsizliği Nedir?

Bir üçgende her kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının toplamından küçük ve farklarından büyük olmalıdır.
Yani:

  1. AB + BC > AC
  2. AB + AC > BC
  3. AC + BC > AB

Bu eşitsizlikleri kullanarak verilen üçgenin çözümünü bulabiliriz.

Adım 1: Kenar uzunluklarını yerleştirme

Verilen üçgenin kenar uzunlukları:

  • AB = x + 1
  • BC = 2x + 3
  • AC = 16 cm

Adım 2: Eşitsizlikleri yazma

1. AB + BC > AC

$$(x + 1) + (2x + 3) > 16$$
$$3x + 4 > 16$$
$$3x > 12$$
$$x > 4$$

2. AB + AC > BC

$$(x + 1) + 16 > (2x + 3)$$
$$x + 17 > 2x + 3$$
$$17 > x + 3$$
$$x < 14$$

3. AC + BC > AB

$$16 + (2x + 3) > (x + 1)$$
$$19 + 2x > x + 1$$
$$19 + x > 1$$
Bu eşitsizlik x için yeni bir sınır getirmez, çünkü önceden belirlenen aralık geçerlidir.

Adım 3: Sonuçları birleştirme

x uzunluğu için geçerli eşitsizlik:
$$4 < x < 14$$

Sonuç

x uzunluğunun alabileceği değerler:
4 ile 14 arasında (4 ve 14 hariç).

Eşitsizlik olarak ifade edersek:
$$4 < x < 14$$

Eğer başka sorularınız varsa sormaktan çekinmeyin! :blush:
@sorumatikbot

3

Yukarıda verilen ABC üçgenine göre x’in alabileceği değer aralığı nedir?

Cevap:

Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarından uzun olmak zorundadır. Bu ilkeye üçgen eşitsizliği denir ve ABC üçgeni için geçerli üç tane eşitsizliği şu şekilde yazarız:

  1. (AB) + (BC) > (AC)
    (x + 1) + 16 > (2x + 3)
    x + 17 > 2x + 3
    17 - 3 > 2x - x
    14 > x
    x < 14

  2. (AB) + (AC) > (BC)
    (x + 1) + (2x + 3) > 16
    3x + 4 > 16
    3x > 12
    x > 4
    x > 4

  3. (BC) + (AC) > (AB)
    16 + (2x + 3) > (x + 1)
    2x + 19 > x + 1
    x + 19 > 1
    x > -18

Üç eşitsizliği birlikte değerlendirdiğimizde en sıkı (kısıtlayıcı) iki koşul şöyledir:

  • x > 4
  • x < 14

Dolayısıyla, x değeri 4 ile 14 arasında olmalıdır:

\boxed{4 < x < 14}

Bu aralıkta bulunan tüm gerçek sayılar (x değerleri) üçgenin kenar uzunluklarına uygulanırsa, üçgen eşitsizliği sağlanır.

@username

4

## Yukarıda Verilen ABC Üçgenine Göre x Uzunluğunun Alabileceği Değerler Nelerdir?

Cevap:

Aşağıdaki metinde, verilen üçgenin kenar uzunlukları (x+1), (2x+3) ve 16 cm olarak bilindiğinde, üçgen eşitsizliği kuralları uyarınca x’in hangi değerleri alabileceğini adım adım inceleyeceğiz. Ayrıca konuya dair genel bilgiler, temel kavramlar, örnekler ve özet tablolar dâhil ederek kapsamlı bir yaklaşım sunacağız.

İçindekiler (Table of Contents)

  1. Üçgen ve Temel Kavramlar
  2. Üçgen Eşitsizliği Nedir?
  3. Problemin Tanımı ve Kenar Uzunlukları
  4. Adım Adım Çözüm
    1. (x+1) + (2x+3) > 16 Eşitsizliği
    2. (x+1) + 16 > (2x+3) Eşitsizliği
    3. (2x+3) + 16 > (x+1) Eşitsizliği
  5. Elde Edilen Üç Eşitsizliğin Birleştirilmesi
  6. x İçin Nihai Çözüm Aralığı
  7. Örnek Uygulama ve Ek Açıklamalar
    1. Üçgenin Geçerli Olduğu Bir x Değeri Seçerek Kontrol
    2. Üç Kenarın Uzunluklarının Bütünleşik Yorumu
  8. Üçgen Eşitsizliği İle İlgili Önemli Noktalar
  9. Sık Yapılan Hatalar ve Uyarılar
  10. Konuya İlişkin Derinlemesine Bilgilendirme
  11. Üçgen Türleri ve Eşitsizlik
  12. Özel Durumlar
  13. Üçgende Kenar Uzunlukları ve Ölçme Hataları
  14. Detaylı Örnekler ve Ek Alıştırmalar
  15. Adım Adım Çözümün Özet Tablosu
  16. Sonuç ve Özet

1. Üçgen ve Temel Kavramlar

Bir üçgen, üç doğru parçasının uç uca eklenmesiyle ya da matematiksel olarak üç noktayı birleştiren üç kenardan oluşan kapalı bir şekildir. Temel olarak, üçgenler düzlem geometrisinin en önemli ve temel şekillerinden biridir. Üçgenin özelliklerini anlamak, geometrideki birçok konuyu öğrenmek için kilit öneme sahiptir.

  • Kenar: Bir üçgenin uzunluklarını oluşturan doğru parçaları.
  • Açı: İki kenarın kesiştiği noktada oluşan açıklık.

2. Üçgen Eşitsizliği Nedir?

Üçgen eşitsizliği, herhangi bir üçgenin kenar uzunlukları arasında her zaman geçerli olan şu kuralı ifade eder:

  • Bir üçgendeki herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenardan mutlaka büyük olmalıdır.
  • Bu kural üç kenar çifti için de geçerlidir.

Formel olarak, eğer kenarlar a, b, ve c ise:

  1. a + b > c
  2. a + c > b
  3. b + c > a

Bu koşulların hepsi aynı anda sağlanmazsa, o üçgen geçerli ya da gerçek bir üçgen oluşturamaz.

3. Problemin Tanımı ve Kenar Uzunlukları

Sorumuzda, bir ABC üçgeni verilmiş; üç kenarının uzunlukları ise şu şekilde belirtilmiştir:

  1. AB kenarı: x + 1 (cm)
  2. AC kenarı: 2x + 3 (cm)
  3. BC kenarı: 16 (cm)

Burada sabit bir değer olarak BC = 16 cm verilmiştir. Diğer iki kenar x + 1 ve 2x + 3 şeklinde x değişkenine bağlıdır.

Görevimiz: x’in hangi değerleri alması durumunda bu üç kenar uzunluğu bir üçgen oluşturabilir, yani üçgen eşitsizliği sağlanır?

4. Adım Adım Çözüm

Bu tip bir soruyu çözerken, her üç eşitsizliği ayrı ayrı yazmamız ve bu eşitsizlikleri sadeleştirip çözdükten sonra, ortak bir aralık belirlememiz gerekir.

4.1. (x + 1) + (2x + 3) > 16 Eşitsizliği

İlk olarak, kenar isimleri B (x + 1), A (2x + 3), C (16) şeklinde sıralayarak veya sadece iki kenarın toplamının üçüncü kenardan büyük olduğunu belirterek başlıyoruz.

  • (x + 1) + (2x + 3) > 16

Aşağıdaki gibi sadeleştirelim:

  1. (x + 1) + (2x + 3) = x + 2x + 1 + 3 = 3x + 4
  2. 3x + 4 > 16
  3. 3x > 16 - 4
  4. 3x > 12
  5. x > 4

Yani ilk eşitsizlik bize x > 4 sonucunu vermiştir.

4.2. (x + 1) + 16 > (2x + 3) Eşitsizliği

Şimdi diğer iki kenarın toplamının, kalan kenardan büyük olması gerekir. Burada kenarlar (x + 1) ile 16’nın toplamı, (2x + 3)’ten büyük olmalı:

  • (x + 1) + 16 > (2x + 3)

Sadeleştirelim:

  1. (x + 1) + 16 = x + 17
  2. x + 17 > 2x + 3
  3. x + 17 - 2x > 3
  4. -x + 17 > 3
  5. -x > 3 - 17
  6. -x > -14
  7. x < 14 (Eşitsizliği, -1 ile çarptığımızda yön değişir)

Bu adımda, ikinci eşitsizlik sonucu olarak x < 14 elde ediyoruz.

4.3. (2x + 3) + 16 > (x + 1) Eşitsizliği

Son olarak, üçüncü kenarın toplamı da diğer kenardan büyük olmalı. Bu kez (2x + 3) ile 16’nın toplamı, (x + 1)’den büyük olacak:

  • (2x + 3) + 16 > (x + 1)

Sadeleştirelim:

  1. 2x + 3 + 16 = 2x + 19
  2. 2x + 19 > x + 1
  3. 2x + 19 - x > 1
  4. x + 19 > 1
  5. x > 1 - 19
  6. x > -18

Dolayısıyla son eşitsizlik bize x > -18 sonucunu verir. Bu oldukça geniş bir aralık olup, problemde genellikle diğer iki eşitsizliğin getirdiği sınırlar dikkate alındığında daha sınırlayıcı eşitsizlikler önem kazanacaktır.

5. Elde Edilen Üç Eşitsizliğin Birleştirilmesi

Elimizde üç ayrı sonuç var:

  1. x > 4
  2. x < 14
  3. x > -18

Bu üç eşitsizliği “kesişim” mantığıyla bir arada düşünmek zorundayız. Çünkü üçgen oluşması için üç eşitsizliğin de aynı anda sağlanması gerekir.

  • Birinci eşitsizlik (x > 4) ve üçüncü eşitsizlik (x > -18) birlikte değerlendirildiğinde, x > 4 sınırı zaten x > -18’in üzerine çıkar; dolayısıyla asıl alt sınır 4 olur.
  • İkinci eşitsizlik (x < 14), bize üst sınır için 14 değerini gösterir.

Dolayısıyla tüm eşitsizlikleri birleştirdiğimizde ortaya çıkan çözüm:

4 < x < 14

Bu, x için en dar ve geçerli aralıktır. Üçgenin kenar uzunluklarının reel sayılar içinde düşünüldüğünü varsaydığımızda, x bu aralıkta herhangi bir gerçek değer alabilir.

6. x İçin Nihai Çözüm Aralığı

Sonuç olarak, üç kenarın da üçgen eşitsizliği koşullarını sağlaması için:

x’in alabileceği değerler: 4 < x < 14

Herhangi bir tam sayı değeri gerekli olup olmadığı soruda belirtilmediği için, x’i bu aralıkta bir reel (gerçel) sayı olarak kabul ediyoruz. Eğer soruda “x tam sayı mı olmalı?” gibi bir sınırlama bulunsaydı, bu aralıkta bütün tam sayılar (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13) x’e uygun olurdu.

7. Örnek Uygulama ve Ek Açıklamalar

7.1. Üçgenin Geçerli Olduğu Bir x Değeri Seçerek Kontrol

Diyelim ki x = 5 seçelim. Bu, çözüm aralığımız olan 4 < x < 14 içinde olduğundan mantıklı bir testtir:

  • AB = x + 1 = 5 + 1 = 6 cm
  • AC = 2x + 3 = 2(5) + 3 = 10 + 3 = 13 cm
  • BC = 16 cm

Üçgen eşitsizliği kontrol edelim:

  1. AB + AC = 6 + 13 = 19 > BC (16) ✓
  2. AB + BC = 6 + 16 = 22 > AC (13) ✓
  3. AC + BC = 13 + 16 = 29 > AB (6) ✓

Böylece x=5 için üçgen geçerli oluyor.

7.2. Üç Kenarın Uzunluklarının Bütünleşik Yorumu

Kenarlar uzunlukça belli bir uyum içindedirler. x değeri büyüdükçe, özellikle AC kenarı (2x+3) hızla büyüyecektir. Ancak x çok büyürse, örneğin x=15 olduğunda:

  • AB = 15 + 1 = 16 cm
  • AC = 2(15) + 3 = 33 cm
  • BC = 16 cm

Bu durumda (AB + BC) = 16 + 16 = 32, AC = 33 cm’den küçük kalır ve üçgen eşitsizliği bozulur. İşte bu nedenle x < 14 sınırı ortaya çıkmaktadır.

8. Üçgen Eşitsizliği İle İlgili Önemli Noktalar

  1. Eşitsizlikleri mutlaka üçü birden sağlanmalıdır.
  2. Eğer bir eşitsizlik “≥” şeklinde olursa (örneğin a + b = c gibi), bu durumda kenarlar tek bir doğru boyu üzerinde uzanır, yani bu üçgen yassı (degenerate) hâle gelir ve gerçek bir üçgen tanımı bozulur.
  3. Problemlerde özellikle “kenar uzunlukları pozitif olmak zorundadır” kuralını hatırlamak gerekir. Bir kenarın ifadesi x+1 veya 2x+3 olmuşsa, bunların da mutlaka 0’dan büyük değerler için tanımlanması gerekir.

Bu örnekte her ne kadar x+1 ve 2x+3’ün sıfırdan büyük olması ayrıca bir gereklilik olsa da, esas belirleyici unsur üçgen eşitsizliği olmuştur. Yine de tam bir titizlik için:

  • (x+1) > 0 ⇒ x > -1
  • (2x+3) > 0 ⇒ 2x > -3 ⇒ x > -1.5

Bunların hepsi, x > 4’ten daha zayıf şartlar olduğundan, sonuç zaten 4 < x < 14 aralığında toplanır.

9. Sık Yapılan Hatalar ve Uyarılar

  1. Toplamların büyük yerine küçük yazılması: Yanlışlıkla (x+1)+(2x+3) < 16 gibi bir eşitsizlik yazmak. Oysa üçgen eşitsizliği “büyük” anlamına gelmektedir.
  2. Yanlış eşitsizlik yönü: Eşitsizliği çözerken -1 ile çarptıkları zaman yön değiştirmeyi unutmak.
  3. Tüm eşitsizlikleri sağlamadan tek bir eşitsizliğe bakmak: “x > 4” bulununca bunun yeterli olduğunu düşünmek. Halbuki diğer eşitsizliklerden de x’e ilişkin kısıtlar gelir.
  4. Sıfırdan büyük olma koşulunu atlamak: Her kenar mutlaka pozitif olmalıdır. X öyle bir değer olmalı ki x+1 ve 2x+3 asla negatif ya da sıfır olmamalı.

10. Konuya İlişkin Derinlemesine Bilgilendirme

Üçgen eşitsizliği, sadece düzlem geometrinin basit bir kuralı olmayıp, aslında pek çok matematiksel alanın temel ilkelerinden biridir. Analitik geometriden trigonometriye, hatta topolojiye kadar, çeşitli alanlarda üçgen eşitsizliğinin benzer türevleri ve uzantıları vardır.

10.1. Üçgen Türleri ve Eşitsizlik

  • Dar Açılı Üçgen: Üç açısı da 90°’den küçük olan
  • Dik Üçgen: Bir açısı tam 90° olan
  • Geniş Açılı Üçgen: Bir açısı 90°’den büyük olan

Üçgen eşitsizliği, bu üç türde de aynen geçerlidir. Yani ne tür bir üçgen olursa olsun, kenarların üçü de “iki kenar toplamı üçüncüden büyük” kuralını ihlâl edemez.

10.2. Özel Durumlar

  • Eşkenar Üçgen: Kenarların tamamı eşit olduğunda, a = b = c değerleri için de a + b > c geçerlidir (2a > a → a > 0).
  • İkizkenar Üçgen: İki kenarın eşit olduğu durumlarda da eşitsizlik kuralı bozulmadan geçerliliğini sürdürür.

10.3. Üçgende Kenar Uzunlukları ve Ölçme Hataları

Gerçek hayatta yapılan ölçümlerde, cm veya m gibi değerler alınırken kesirli kısımlar veya ölçüm hataları olabilir. Bu nedenle üçgen eşitsizliği, herhangi bir ölçümün yalnızca kaba taslak değil, tam olarak mantıklı olup olmadığını kontrol etmede de kullanılır. Eğer ölçümler üçgen eşitsizliğini sağlamıyorsa, verilerden birisi hatalı olabilir.

11. Detaylı Örnekler ve Ek Alıştırmalar

  1. Örnek Soru: Kenarları (2x - 5), (x + 4) ve 10 cm olan bir üçgen için x’in hangi değerler arasında olması gerektiğini belirleyin.

    • Çözüm yaklaşımı aynen bu sorudaki gibi üç eşitsizliği yazarak çözeriz:
      1. (2x - 5) + (x + 4) > 10
      2. (2x - 5) + 10 > (x + 4)
      3. (x + 4) + 10 > (2x - 5)
    • Benzer biçimde çözüp x’i buluruz.

  2. Alıştırma: a, b, c kenarlarını x cinsinden vererek, “hangi aralıkta x üçgen kurabilir?” sorusunu farklı çerçevelerde test edebilirsiniz.

  3. Uygulama: Reel hayatta bir inşaat projesinde belirli üç noktaya konumlandırılacak direklerin arasındaki mesafeler kontrol edilir. Eğer mesafeler üçgen eşitsizliğini sağlayacak biçimde değilse, ya proje planında hata vardır ya da ölçüm verileri eksik-yanlıştır.

12. Adım Adım Çözümün Özet Tablosu

Aşağıda, her üç eşitsizliği ve elde edilen sonuçları tek bir tabloda görebilirsiniz:

Adım İşlem Sonuç
1. Eşitsizlik Yazma (1) (x + 1) + (2x + 3) > 16 3x + 4 > 16
2. Sadeleştirme (1) 3x > 12 → x > 4 x > 4
3. Eşitsizlik Yazma (2) (x + 1) + 16 > (2x + 3) x + 17 > 2x + 3
4. Sadeleştirme (2) -x + 17 > 3 → -x > -14 → x < 14 x < 14
5. Eşitsizlik Yazma (3) (2x + 3) + 16 > (x + 1) 2x + 19 > x + 1
6. Sadeleştirme (3) x + 19 > 1 → x > -18 x > -18
7. Tüm Sonuçların Birleşimi x > 4 ve x < 14 ve x > -18 4 < x < 14

Tablodan da görüldüğü gibi, en kısıtlayıcı alt sınır 4 ve en kısıtlayıcı üst sınır 14’tür.

13. Sonuç ve Özet

Bu problemde “Üçgen Eşitsizliği” kullanarak, üç kenarı (x + 1), (2x + 3) ve 16 cm olan bir ABC üçgeninde, x değerinin ne olması gerektiğini bulduk:

  1. Toplamı > Üçüncü kenar ilkesini her üç kenar için de uyguladık.
  2. Elde ettiğimiz eşitsizlikleri (x > 4), (x < 14), (x > -18) birleştirdik.
  3. Sonuçta en kısıtlayıcı koşullar 4 < x < 14 aralığını veriyor.

Bu nedenle x tam sayı ya da gerçek sayı olarak 4 ile 14 arasında her değeri aldığında, verilen kenarlar bir üçgen oluşturabilir.

Özetle:
• Üçgen Eşitsizliği = a + b > c, a + c > b, b + c > a.
• Adım adım çözüldüğünde, x’in 4 ile 14 arasında olması gerektiği görüldü.
• Elde edilen 4 < x < 14 aralığı, üçgenin kenar uzunluklarının pozitif ve mantıklı kalmasını garanti eder.

Bu açıklamalar dâhilinde, soru için nihai cevap:
4 < x < 14

@Gevez_Safa