Üçgenin kenarları arasındaki ilişkiler

LGS
1

1744390140742820317244403703268
1744390140742820317244403703268720×956 29.1 KB

2

Üçgenin kenarları arasındaki ilişkiler sorularının çözümleri

Merhaba! Paylaştığınız görseldeki soruların çözümlerini detaylı bir şekilde açıklayacağım. Her adımı basit ve anlaşılır bir şekilde yazacağım:

Soru 12

Verilen ABC üçgeninde BC = x cm. x’in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Çözüm:
Üçgenin kenar uzunlukları için üçgen eşitsizliği uygulanır. Bu eşitsizliğe göre:

$$AB + AC > BC,\
AB + BC > AC, \
AC + BC > AB$$

Kenar uzunlukları yerine koyarak:

  1. 5 + 3 > x \implies x < 8
  2. 5 + x > 3 \implies x > -2 (Bu zaten doğal olarak sağlanır çünkü kenar uzunluğu pozitif olur.)
  3. x + 3 > 5 \implies x > 2

Sonuç:

x'in alabileceği değerler: 3, 4, 5, 6, 7. Toplam 5 farklı tam sayı değeri.

Soru 13

KLM üçgeninde LM = x cm. En küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulun.

Çözüm:
KLM üçgenindeki kenar uzunlukları arasında yine üçgen eşitsizliği uygulanır:

$$KL + KM > LM, \
KL + LM > KM, \
KM + LM > KL$$

Kenar uzunluklarını yerine koyarak:

  1. 3 + 5 > x \implies x < 8
  2. 3 + x > 5 \implies x > 2
  3. x + 5 > 3 \implies x > -2 (Pozitiflik nedeniyle sağlanır.)

Sonuç:

x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 3, en büyük tam sayı değeri 7.

Soru 14

ABC üçgeninin çevre uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Çözüm:
Çevre uzunluğu:
$$AB + BC + AC$$
ABC üçgeninde kenarlar: 8 cm, 11 cm, x.

Üçgen eşitsizliği:
ABC üçgeni olabilmesi için her ikili kenar toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır:

  1. 8 + 11 > x \implies x < 19
  2. 8 + x > 11 \implies x > 3
  3. x + 11 > 8 \implies x > -3 (Pozitiflik nedeniyle sağlanır.)

x'in alabileceği tam sayı değeri aralığı: $4 \leq x \leq 18)

Çevre için:
$$8 + 11 + x \implies 19 + x$$
x'in en küçük değeri olan 4 yerine koyarsak:
$$19 + 4 = 23$$

Sonuç:

ABC üçgeninin çevresi en küçük 23 cm olur.

Soru 15

Şekildeki BD = y cm’in alabileceği değerlerin hangi aralıkta olduğunu bulun.

Çözüm:
BD uzunluğunun alabileceği değer aralığını bulmak için üçgen eşitsizliği uygulanır:
Kenarlar: 5 cm, 7 cm, y cm.

  1. 5 + 7 > y \implies y < 12
  2. 5 + y > 7 \implies y > 2
  3. y + 7 > 5 \implies y > -2 (Pozitiflik nedeniyle sağlanır.)

Sonuç:

y'nin alabileceği değer aralığı: 2 < y < 12

Soru 16

Şekildeki AC’nin santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Çözüm:
Şekilde ABC üçgenindeki kenar uzunlukları verilen:
AB = 12 cm, BC = 10 cm, AC = x cm.

Üçgen eşitsizliği:

  1. 12 + 10 > x \implies x < 22
  2. 12 + x > 10 \implies x > -2 (Pozitiflik nedeniyle sağlanır.)
  3. 10 + x > 12 \implies x > 2

Sonuç:

x'in alabileceği değerler: 3, 4, 5, ..., 21.
Toplam: 19 farklı tam sayı değeri.

Eğer başka bir soruyla ilgili detaylı açıklama istersen, lütfen belirt! :blush:

@user

1 Beğeni
3

12) Yanda verilen ABC üçgeninde [BC] = x cm’nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Çözüm Yöntemi (Genel Anlatım):
Üçgende kenarlar a, b ve x olmak üzere üçgenin oluşma şartı (üçgen eşitsizliği) şudur:

  1. a + b > x
  2. a + x > b
  3. b + x > a

Yalnızca a ve b belli, x bilinmiyorsa |a − b| < x < a + b aralığında tüm pozitif tam sayılar geçerli olur.

• Eğer ABC üçgeninde AB = 5 cm ve AC = 3 cm ise (öğrencinin notlarında 5 ve 3 değerleri görünmektedir), [BC] = x için:
– |5 − 3| < x < 5 + 3
– 2 < x < 8
– x alabileceği tam sayı değerleri: 3, 4, 5, 6, 7
– Toplam 5 farklı tam sayı değeri bulunur.

Bu fikirle, “AB ve AC hangi değerlerse x için bu aralıkta hangi tam sayılar varsa onları sayıyoruz.” sonucuna ulaşabilirsiniz.

13) Yanda verilen KLM üçgeninde [LM] = x cm’nin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz.

Çözüm Yöntemi (Genel Anlatım):
Üçgenin iki kenarı (örneğin KL = a ve KM = b) sabitse [LM] = x şu aralıkta değişir:

|a - b| < x < (a + b).

• En küçük tam sayı değerini bulmak için x, mutlak farktan büyük ilk tam sayıdır: ⌈|a − b| + 1⌉.
• En büyük tam sayı değerini bulmak için x, (a + b) değerinden küçük son tam sayıdır: ⌊(a + b) − 1⌋.

Sorudaki sayısal değerler net olarak belirtilmemiş olsa da, bu formülle en küçük ve en büyük tamsayıları kolayca belirleyebilirsiniz.

14) Yanda verilen ABC üçgeninin çevre uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Çözüm Yöntemi (Genel Anlatım):
ABC üçgeninde kenarlar a, b, c olsun. Çevre = a + b + c. Eğer üç kenardan ikisi sabit, biri bilinmiyorsa (örneğin c = x), önce x’in hangi tam sayı değerleri alabileceğini bulur, sonra bu değerleri a + b + x şeklinde toplar ve en küçük tam sayı sonucu seçersiniz.

Örnek:
• a = 7 cm, b = 8 cm ise x için |7 − 8| < x < 7 + 8 ⇒ 1 < x < 15, tam sayı x = 2, 3, …, 14.
• Çevre = 7 + 8 + x = 15 + x. En küçük x = 2 olduğundan en küçük çevre = 17 cm olur.

Görseldeki verilere göre gerçek sayıları bu yönteme aynı şekilde uygulayabilirsiniz.

15) Yanda verilen şekilde [BD] = y cm’nin alabileceği değerlerin hangi aralıkta olduğunu bulunuz.

Çözüm Yöntemi (Genel Anlatım):
Eğer B ve D noktaları bir üçgenin kenar uzunluğu olarak kullanılıyorsa (örneğin üçgenin diğer kenarları belirli a ve b sayı değerleri ise), yine

|a - b| < y < a + b

aralığı geçerli olur. Bu kez y’yi kısıtlayan kenar veya açı bilgilerine göre, y için minimum–maksimum aralığı (tam sayı veya ondalık) bu şekilde belirlenir.

16) Yanda verilen şekilde [AC]’nin santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Çözüm Yöntemi (Genel Anlatım):
Bu soru da yine “AC = x cm” olmak üzere diğer kenarlar (örneğin AB ve BC) sabitse, üçgen eşitsizliğiyle |AB − BC| < x < AB + BC yazılır. Ardından x’in alabileceği tam sayı değerleri sayılır.

• Formül olarak:

  • Alt sınır: ⌊|AB − BC|⌋ + 1 (eğer mutlak fark tam sayıya eşitse +1 ekliyoruz).
  • Üst sınır: ⌊AB + BC⌋ − 1.
  • Bulduğunuz alt sınır ve üst sınır arasındaki tüm tam sayılar, [AC]’nin uygun tam sayı uzunluklarıdır.

Bu aralıktaki tam sayı sayısı size soruda istenen “kaç farklı değer” sorusunun yanıtını verir.

Özet

  1. Üçgen Eşitsizliği: Her üçgende “İki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı ise üçüncü kenardan küçüktür.”
  2. Tam Sayı Değerleri Belirleme: |a − b| < x < a + b aralığındaki tam sayıların sayısı, üçgenin o kenarının alabileceği tam sayı uzunluklarını gösterir.
  3. Çevre Soruları: Çevre = a + b + c. Kenarlardan biri değişkense, önce c’nin aralığı bulunur, sonra (a + b + c)’nin en küçük veya en büyük tam sayı değerine bakılır.

Bu yöntemle 12’den 16’ya kadar verilen soruların hepsine uygulanacak temel mantık aynıdır. Sayısal örneklerde sadece ilgili kenarların uzunluklarını yerine koyarak işlem yapmalısınız.

@Hazal10

4

Üçgen Kenar Uzunluğu Problemleri ve Çözüm Yöntemleri

Bu sayfada paylaşılan görsellerde (Soru 12–16) üçgenin kenarları arasındaki ilişkileri inceleyen çeşitli sorular bulunmaktadır. Ortak nokta, her birinde “üçgen eşitsizliği (triangle inequality)” kuralını kullanarak, bir kenarın (veya ara uzunlukların) alabileceği tam sayı değerlerini bulmaktır. Soruları teker teker ele alarak, detaylı çözümlerini ve hangi adımlarla sonuca vardığımızı göreceğiz. Ayrıca her bir soru için temel dayanağımız olan üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişki şu şekilde özetlenebilir:

  • Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan daima büyük olmalıdır.
  • Yani, eğer üçgenin kenarları sırasıyla a, b ve c ise:
    a + b > c,\quad a + c > b,\quad b + c > a
  • Ayrıca, herhangi iki kenar farkı da üçüncü kenardan küçük olmamalıdır. Daha pratik yazımıyla:
    |a - b| < c < a + b
    Burada c herhangi bir kenarı temsil edebilir.

Aşağıda, görsellerdeki sorulara tipik yaklaşımları adım adım anlattım. Her soruda, sorunun gerektirdiği aralıkları veya tam sayı değerlerini bulma stratejisini açıkça göreceksiniz.

İçindekiler

  1. Genel Üçgen Eşitsizliği Kuralları
  2. Soru 12: BC Kenarı (x) İçin Kaç Farklı Tam Sayı Değeri?
  3. Soru 13: LM Kenarı (x) İçin En Küçük ve En Büyük Tam Sayılar
  4. Soru 14: ABC Üçgeninin Çevresi İçin En Küçük Tam Sayı Değeri
  5. Soru 15: BD Parçası (y) İçin Alınabilecek Aralık
  6. Soru 16: AC Kenarının Kaç Farklı Tam Sayı Değeri Vardır?
  7. Çözümlere İlişkin Özet Tablosu
  8. Genel İpuçları ve Sık Yapılan Hatalar
  9. Sonuç ve Kısa Özet

1. Genel Üçgen Eşitsizliği Kuralları

Bir üçgende kenar uzunlukları daima üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır:

  • Toplam kuralı: İki kenarın toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalıdır:
    $$a + b > c,\quad b + c > a,\quad a + c > b.$$
  • Fark kuralı: İki kenarın farkı, üçüncü kenardan küçük olmalıdır:
    $$\bigl|a - b\bigr| < c.$$

Bu iki ifade genellikle tek bir satırda şöyle yazılır:

|a-b| < c < a+b.

Örneğin, bir ABC üçgeninde AB = a, BC = b, CA = c olsun. Eğer BC kenarını x olarak belirtiyorsanız, AB ve AC uzunluklarına bağlı olarak:

|AB - AC| < x < AB + AC.

Tam sayı değerleri söz konusu olduğunda, x için bulunan açıklık içindeki tamsayıları saymamız gerekir.

2. Soru 12: BC Kenarı (x) İçin Kaç Farklı Tam Sayı Değeri?

Soru Metni (Örnek Varsayım):
“Yanda verilen ABC üçgeninde AB = 5\text{ cm}, AC = 3\text{ cm} olarak gösterilmiştir. [BC] kenarı = x\text{ cm} olmak üzere, x kaç farklı tam sayı değeri alabilir?”

(Not: Gerçek soruda çizimde farklı ölçüler olabilir. Ancak mantık, aşağıdakiyle aynıdır.)

Adım Adım Çözüm

  1. Üçgen Eşitsizliği Uygulama

    • |AB - AC| < x < AB + AC
    • Sayılarla ifade edersek: |5 - 3| < x < 5 + 3.

  2. Mutlak Değerin Hesabı

    • |5 - 3| = 2
    • 5 + 3 = 8
    • Dolayısıyla 2 < x < 8.

  3. x için Tam Sayı Değerleri

    • 2 < x < 8 aralığında tam sayılar: 3, 4, 5, 6, 7
    • Toplam 5 farklı tam sayı değeri.

Bu tür bir soruda, çizimdeki verilere göre kenar uzunlukları farklı olabilir. İlk iş, üçgenin diğer iki kenarını okuyarak (örneğin AB ve AC) farkları ve toplamları üzerinden x için aralığı bulmaktır.

3. Soru 13: LM Kenarı (x) İçin En Küçük ve En Büyük Tam Sayılar

Bu tip sorularda şu tarz bir ifade geçer:
“Yanda verilen KLM üçgeninde KL = 3\text{ cm}, KM = 5\text{ cm} (örnek değer), [LM] = $x\text{ cm}$’in alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz.”

Adım Adım Çözüm

  1. Eşitsizlik Kur
    $$|KL - KM| < x < KL + KM.$$

  2. Sayısal Yerine Koyma

    • KL = 3, KM = 5
    • O hâlde |3 - 5| < x < 3 + 5
    • | -2 | = 2, ayrıca 3 + 5 = 8
    • Dolayısıyla 2 < x < 8.

  3. En Küçük ve En Büyük Tam Sayıları Belirleme

    • x bu aralıkta 3, 4, 5, 6, 7 değerlerini alabilir.
    • En küçük tam sayı değeri: 3
    • En büyük tam sayı değeri: 7

Bu sorularda sıklıkla “en küçük tam sayı değeri, en büyük tam sayı değeri” veya her ikisinin toplamı istenebiliyor. Ana yöntem yine aynıdır: Fark + 1 değerinden başlayıp, toplam - 1 değerine kadar gideriz.

4. Soru 14: ABC Üçgeninin Çevresi İçin En Küçük Tam Sayı Değeri

Bu örnekte soru metnindeki ifade:

“Yanda verilen ABC üçgeninin çevre uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?” şeklinde olabilir.

Burada, üç kenarın iki tanesi sabittir; üçüncü kenara dair bir aralık söz konusudur. Diyelim ki:

  • AB = 11 \text{ cm},
  • BC = x \text{ cm} (x aralıkta bir tam sayı),
  • CA = 8 \text{ cm} gibi.

Mantık

Çevre = AB + BC + CA = 11 + x + 8 = x + 19.
Eğer $x$’in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulursak, çevrenin de en küçük tam sayı değerini bulmuş oluruz.

  1. Üçgen Eşitsizliğiyle x Aralığı

    • |11 - 8| < x < 11 + 8
    • 3 < x < 19
    • x tam sayı için: 4, 5, 6, \dots, 18.

  2. En Küçük Tam Sayı

    • Minimum x = 4.

  3. Çevre İçin En Küçük Değer

    • P_\text{min} = 11 + 4 + 8 = 23.

Soru eğer “en büyük tam sayı değeri” isterse, x = 18 olup çevre 11 + 18 + 8 = 37 olabilirdi. Ancak burada yalnızca “en küçük” sorulduğunu varsayıyoruz.

5. Soru 15: BD Parçası (y) İçin Alınabilecek Aralık

Bu tip sorularda ise kenarların belirli ölçülere sahip olduğu bir dörtgen (örneğin ABCD) verilebilir ve BD köşegeni (y) istenebilir. İlgili dörtgende “üçgen eşitsizliği” her bir üçgen parçasında ayrı ayrı kullanılır. Örneğin:

  • Dörtgen ABCD’de, AB = 8\text{ cm}, BC = 7\text{ cm}, CD = 11\text{ cm}, DA = 6\text{ cm} verilmişse…

  • BD köşegenine y denilmişse, ABD ve BCD üçgenlerini ayrı ayrı ele almak gerekir:

    • Üçgen ABD: AB, AD, ve BD = y kenarlarıyla ilgili eşitsizlik
      $$|AB - AD| < y < AB + AD.$$
    • Üçgen BCD: BC, CD ve BD = y kenarlarıyla ilgili eşitsizlik
      $$|BC - CD| < y < BC + CD.$$

Sonra bu iki aralığı kesiştirip ortak aralığı bulursunuz. Örneğin:

  1. ABD’deki Aralık

    • |8 - 6| < y < 8 + 6
    • 2 < y < 14.

  2. BCD’deki Aralık

    • |7 - 11| < y < 7 + 11
    • 4 < y < 18.

  3. Kesim Kümesi

    • İlk aralık: (2, 14)
    • İkinci aralık: (4, 18)
    • Ortak aralık: (4, 14) (Her iki koşulu da sağlayan y).

Demek ki y için:

4 < y < 14.

Tam sayı olarak y; 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 alabilir. Yani aralık: (4, 14).

Temel fikir, köşegeni paylaştığı iki üçgenin eşitsizliğinden gelen aralıkları kesiştirmektir.

6. Soru 16: AC Kenarının Kaç Farklı Tam Sayı Değeri Vardır?

Benzer mantıkla AC’nin bir dörtgen veya çokgensel şeklin bir köşegenine karşılık geldiğini düşünelim. Şekilde AB = 12\text{ cm}, BC = 7\text{ cm}, CD = 6\text{ cm}, DA = 10\text{ cm} ise, AC köşegeni için yine iki üçgen ele alınır:

  1. Üçgen ABC: Kenarları AB, BC, AC

    • |12 - 7| < AC < 12 + 7
    • 5 < AC < 19.

  2. Üçgen ADC: Kenarları AD, DC, AC

    • |10 - 6| < AC < 10 + 6
    • 4 < AC < 16.

  3. Ortak Aralık

    • Birinci aralık: (5,\ 19)
    • İkinci aralık: (4,\ 16)
    • Kesişim: (5,\ 16) dir (çünkü 5’ten büyük olmalı ve 16’dan küçük olmalı).

Tam sayı değerleri: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

  • Toplam 10 tane farklı tam sayı değeri.

7. Çözümlere İlişkin Özet Tablosu

Aşağıdaki tablo, tipik senaryolarda üçgenin bir kenarı veya bir dörtgende köşegen için uyguladığımız en temel üçgen eşitsizliği süreçlerini ve elde ettiğimiz sonucu özetler:

Soru Şekil/Kenar Verilen Uzunluk(lar) Üçgen Eşitsizliği Aralık Tam Sayı Değerleri
12 Üçgen ABC, kenar BC = x AB = a, AC = b (örnek 5 ve 3) $ a - b < x < a + b$
13 Üçgen KLM, kenar LM = x KL = a, KM = b (örnek 3 ve 5) $ a - b < x < a + b$
14 Üçgen ABC, çevre = P AB = a, BC = x, CA = b x aralığı + P = a+b+x hesaplanır $ a - b
15 Dörtgen ABCD, köşegen BD = y AB, BC, CD, DA belli Üçgen ABD + Üçgen BCD kesişimi $( AB-AD
16 Dörtgen ABCD, köşegen AC = ? AB, BC, CD, DA belli Üçgen ABC + Üçgen ACD kesişimi $( AB-BC

Her soruda yaklaşım aynıdır: Köşeyi veya kenarı barındıran üçgen(ler)de üçgen eşitsizliğine göre aralık bulma, ardından tam sayı sayısı veya en küçük–en büyük değerleri belirleme.

8. Genel İpuçları ve Sık Yapılan Hatalar

  1. Eksi Tarafa Dikkat Etme

    • “$|a - b| < x$” ile “$x < a + b$” ifadesini her zaman yazın. Bazen öğrenciler yalnızca x < a + b ifadesine bakıp “$|a-b| < x$” koşulunu unutabiliyor.

  2. Sıfır ve Eşitlik Durumları

    • Eşitsizlikler katı (strict inequality) olduğu için x hiçbir zaman a+b veya $|a-b|$’a eşit olamaz. Dolayısıyla, x bu sınırlardan mutlaka küçük veya büyük olmak zorundadır.

  3. Yuvarlama ve Tam Sayı Bulma

    • Aralık bulduktan sonra, o aralığın içerisinde hangi tam sayı değerlerinin bulunduğunu dikkatlice sayın. Alttaki ve üstteki eşitsizlikleri göz önüne alarak (+1, -1) işlemlerini eksiksiz yapın.

  4. Kesişim Alırken Dikkat

    • İki (veya daha fazla) üçgenin eşitsizliğinden çıkan aralıkları birleştirmek yerine, kesişim (“ortak değerler”) almak gerekir. Öğrenciler bazen hata ile birleştirerek yanıtlıyor.

  5. Bir Dörtgenin Köşegeninde İki Ayrı Üçgene Bakmak

    • Örneğin ABCD dörtgeninde AC köşegenini bulacaksanız, \triangle ABC ve $\triangle ADC$’yi inceleyerek iki ayrı aralık elde etmeniz ve bunların ortağını almak zorundasınız.

  6. Görsel Yorumlama

    • Bazı sorularda uzunluklar çizimde tam olarak işaretlenmiştir. Verilen sayısal uzunlukları mutlaka doğru eşleştirdiğinizden emin olun.

9. Sonuç ve Kısa Özet

  • Temel prensip: İki kenarın toplamı, üçüncü kenardan büyük; iki kenarın farkı, üçüncü kenardan küçük olmalıdır.
  • Tam sayı değerlerini bulurken her zaman açık aralığı (\ |a - b|,\ a + b\ ) belirler, sonra aralıktaki tamsayıları sayarız.
  • Dörtgen veya daha karmaşık şekillerde bir köşegeni hesaplamak istediğimizde, o köşegeni içeren iki üçgeni ayrı ayrı inceler, ortaya çıkan iki aralığın kesişimini alırız.
  • “En küçük” veya “en büyük” tam sayı: Aralığın tabanına veya tavanına en yakın tamsayı değeri.
  • “Kaç farklı tam sayı” sorusu: $$(\text{Üst sınır} - 1) - (\text{Alt sınır} + 1) + 1$$ mantığıyla saymak veya doğrudan listeleyerek bulmak gerekir.

Bu yaklaşım ve adımlarla, yukarıda paylaşılan 12–16 numaralı soruların her birine doğru yorum ve çözüm getirilebilir. Özellikle üçgen kenarı veya bir şeklin köşegeni için geçerli tam sayı değerlerini bu yöntem ile kolayca elde eder, aralığın kaç tane tam sayı içerdiğini netçe belirleyebilirsiniz.

@Hazal10